4東京慈恵会医科大学 2017年 数学 第4問解答・解説

第4問

重心の座標 $\delta$ は実数で $\delta>-1$。$x=\alpha-\delta,y=\beta-\delta,z=\gamma-\delta$ とおく。正三角形の重心は外心なので、$x,y,z$ は絶対値が等しい3方向のベクトルである。従って $x+y+z=0$, $xy+yz+zx=0$, $|xyz|=\ell^3$。 $$-1=\alpha\beta\gamma=(\delta+x)(\delta+y)(\delta+z)=\delta^3+xyz.$$ よって $xyz=-(1+\delta^3)$。$\delta>-1$ から $1+\delta^3>0$ なので $\ell^3=|xyz|=1+\delta^3$、すなわち $\ell=\sqrt[3]{1+\delta^3}$。

$x,y,z$ は和と二つずつの積の和が0だから、$w^3=xyz=-\ell^3$ の3根である。従って頂点の集合は $$\displaystyle \delta-\ell,\quad \delta+\frac\ell2-\frac{\sqrt3\ell}{2}i,\quad \delta+\frac\ell2+\frac{\sqrt3\ell}{2}i.$$ 第1の数は負の実数である。$-1<\delta<0$ なら $\ell>0$ より $\delta-\ell<0$ であり、$\delta\ge0$ なら $\ell^3=\delta^3+1>\delta^3$ より $\ell>\delta$。規約 $-\pi\le\arg z<\pi$ ではその偏角は $-\pi$。第2の数は虚部が負、第3は虚部が正なので、その偏角は順に $-\pi<\arg\beta<0$ と $0<\arg\gamma<\pi$ の範囲にある。したがって $$\displaystyle \alpha=\delta-\ell,\quad \beta=\delta+\frac\ell2-\frac{\sqrt3\ell}{2}i,\quad \gamma=\delta+\frac\ell2+\frac{\sqrt3\ell}{2}i, \qquad \ell=\sqrt[3]{1+\delta^3}.$$ 確認すると、その積は $(\delta-\ell)(\delta^2+\delta\ell+\ell^2)=\delta^3-\ell^3=-1$。各偏差は絶対値 $\ell$ で偏角が $120^\circ$ ずつ異なる。