1東京慈恵会医科大学 2017年 数学 第1問解答・解説

第1問

(1)

全事象は $6^3=216$ 通りである。$u=a+b$ とおく。得点が $5$ 点となるには、$a+b<c$ の場合に $a+b+c=5$ でなければならない。$u+c=5$ かつ $u<c$、$u\ge2$ より $u=2,c=3$ であり、$(a,b)=(1,1)$ の1通りである。$a+b\ge c$ の場合の得点は偶数なので該当しない。従って $\text{ア}=1/216$。

得点が $8$ 点以下となる場合を分ける。$u<c$ のときは $u+c\le8$。$u=2$ では $c=3,4,5,6$ の4通り、$u=3$ では $c=4,5$ の2通りで、対応する順序付き $(a,b)$ はそれぞれ1通り、2通りである。$u\ge4$ では不可能なので、計8通り。一方 $u\ge c$ のときは $2(u+c)\le8$、すなわち $u+c\le4$。$(u,c)=(2,1),(2,2),(3,1)$ であり、$(a,b)$ の個数は順に1,1,2通り、計4通りである。合計12通りだから $\text{イ}=12/216=1/18$。

(2)

$B=\angle ABC$, $C=\angle BCA$, $A=\pi-B-C$ とする。$B,C$ は鋭角なので $$\displaystyle \sin B=\frac45,\quad \sin C=\frac{12}{13},\quad \sin A=\sin(B+C)=\frac45\frac5{13}+\frac35\frac{12}{13}=\frac{56}{65}.$$ $a=BC,b=CA,c=AB$ とおけば正弦定理から $b/a=13/14$, $c/a=15/14$。面積 $K$、周長 $P$ は $$\displaystyle K=\frac12bc\sin A=\frac12\frac{13a}{14}\frac{15a}{14}\frac{56}{65}=\frac{3a^2}{7},\qquad P=a+b+c=3a.$$ 内接半径2より $K=2(P/2)$、従って $3a^2/7=3a$ から $a=7$、$K=21$。よって $\text{ウ}=7,\text{エ}=21$。