7東邦大学 2022年 数学 第7問解答・解説

東邦大学 2022年度 第7問

問題ID: MM-988468583aaf-Q7

$\displaystyle x=z+\frac12$ と置くと $$\displaystyle \begin{aligned} 2\left(z+\frac12\right)^3 -3\left(z+\frac12\right)^2 +2(a-1)\left(z+\frac12\right)+a &=2z^3+\left(2a-\frac72\right)z+\left(2a-\frac32\right). \end{aligned}$$ よって2で割れば $$\displaystyle z^3+\left(a-\frac74\right)z+\left(a-\frac34\right)=0.$$ 三角形ができるには3点が一直線上に並んではならない。実係数の三次方程式なので、解は実数 $u$ と共役な2数 $\displaystyle -\frac u2\pm it$（$t>0$）の形になる。ここで $z$ 平面への平行移動は角度と長さを変えない。これらの根を並べた多項式は $$\displaystyle \begin{aligned} (z-u)\left(z^2+uz+\frac{u^2}{4}+t^2\right) &=z^3+\left(t^2-\frac34u^2\right)z -u\left(\frac{u^2}{4}+t^2\right). \end{aligned}$$ 係数を比較して $$\displaystyle a-\frac74=t^2-\frac34u^2,\qquad a-\frac34=-u\left(\frac{u^2}{4}+t^2\right). \tag{1}$$ 複素平面上では根は $(u,0)$、$\displaystyle (-\frac u2,t)$、$\displaystyle (-\frac u2,-t)$ で、底辺の長さは $2t$、他の2辺の長さはそれぞれ $\displaystyle \sqrt{\frac94u^2+t^2}$。

直角三角形

三角形は二等辺なので、直角になるなら頂点 $(u,0)$ が直角頂点である。その頂点から出る2辺の方向ベクトルの内積は $$\displaystyle \left(-\frac32u,t\right)\cdot \left(-\frac32u,-t\right)=\frac94u^2-t^2.$$ 従って直角条件は $\displaystyle t^2=\frac94u^2$。これを (1) に代入すると $$\displaystyle a=\frac74+\frac32u^2,\qquad a-\frac34=-\frac52u^3.$$ 両式より $$\displaystyle 1+\frac32u^2=-\frac52u^3,\qquad 5u^3+3u^2+2=0,\qquad (u+1)(5u^2-2u+2)=0.$$ 二次式の判別式は $4-40<0$ なので、実数 $u=-1$ のみ。従って $t=3/2>0$、$a=13/4$。このとき3点は相異なるので直角三角形となる。

正三角形

正三角形となる条件は、他の2辺の長さが底辺 $2t$ に等しいこと、すなわち $$\displaystyle \frac94u^2+t^2=4t^2,\qquad t^2=\frac34u^2.$$ (1) の第1式から $a=7/4$。第2式に代入すると $$1=-u^3$$ より実数 $u=-1$、従って $t=\sqrt3/2>0$。このとき底辺も他の2辺も $\sqrt3$ で、正三角形となる。

最終答案

$$\displaystyle \boxed{\text{直角三角形では }a=\frac{13}{4},\qquad \text{正三角形では }a=\frac74}$$

使用解法

実係数三次方程式の共役根、二次式への因数分解と係数比較、複素平面上の内積・距離で三角形の形を判定した。

issues

なし。