9東邦大学 2022年 数学 第9問解答・解説

東邦大学 2022年度 第9問

問題ID: MM-988468583aaf-Q9

条件から $$\displaystyle \beta=\frac{\pi}{2}-3\alpha,\qquad 0<\alpha<\frac{\pi}{6}.$$ $S=\alpha+\beta$ とおくと $$\displaystyle S=\frac{\pi}{2}-2\alpha,\qquad \frac{\pi}{6}<S<\frac{\pi}{2}.$$ この範囲で正接関数は単調増加だから $$\displaystyle \tan(\alpha+\beta)=\tan S>\tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{3}.$$ 下限は $\alpha\to\pi/6$ で近づくが $\beta>0$ なので等号はとらない。

次に $\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{4}-\frac S2$ より $$\displaystyle \alpha-\beta=2\alpha-S=\frac{\pi}{2}-2S.$$ $t=\tan S$ とおくと $t>1/\sqrt3$ であり、$\sin2S>0$ だから $$\displaystyle \tan(\alpha-\beta)=\cot2S =\frac{\cos2S}{\sin2S} =\frac{1-t^2}{2t}.$$ 求める式は $$\displaystyle \begin{aligned} 5\tan(\alpha+\beta)+4\tan(\alpha-\beta) &=5t+4\frac{1-t^2}{2t}\\ &=3t+\frac2t\\ &\geq2\sqrt{3t\cdot\frac2t}=2\sqrt6. \end{aligned}$$ 等号条件は $3t=2/t$、すなわち $t=\sqrt{2/3}>1/\sqrt3$。この値は許される範囲内にあり、対応する $S$ と $\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{4}-S/2,\ \beta=S-\alpha$ はともに正なので最小値は実際に達成される。

最終答案

$$\displaystyle \boxed{\tan(\alpha+\beta)>\frac{\sqrt3}{3},\qquad \min\left(5\tan(\alpha+\beta)+4\tan(\alpha-\beta)\right)=2\sqrt6}$$

使用解法

条件から角の範囲を求め、和 $S=\alpha+\beta$ の正接を変数に置き換え、相加相乗平均で最小値と等号成立を確認した。

issues

なし。