1東京大学 2017年 数学 第1問解答・解説

$x=\cos\theta$ とおくと、$0<\theta<\pi$ より $-1<x<1$ である。三角関数の倍角・加法公式から $$\cos2\theta=2x^2-1,\qquad \cos3\theta=\cos(2\theta+\theta)=4x^3-3x.$$ したがって $$f(\theta)=4x^3+2ax^2+(b-3)x-a,\qquad f(0)=1+a+b.$$ よって $$\displaystyle \begin{aligned} g(\theta) &=\frac{4x^3+2ax^2+(b-3)x-(1+2a+b)}{x-1}\\ &=4x^2+(2a+4)x+2a+b+1. \end{aligned}$$

(2) $G(x)=4x^2+(2a+4)x+2a+b+1$ とおく。平方完成すると $$\displaystyle G(x)=4\left(x+\frac{a+2}{4}\right)^2 +\frac{-a^2+4a+4b}{4}.$$ $G$ が$-1<x<1$ の範囲で最小値 $0$ をとるなら、その最小点は頂点 $$\displaystyle x_0=-\frac{a+2}{4}$$ であり、$-1<x_0<1$ かつ頂点での値が $0$ でなければならない。これらはそれぞれ $$-6<a<2,\qquad -a^2+4a+4b=0$$ と同値である。したがって条件は $$\displaystyle \boxed{-6<a<2,\qquad b=\frac{a^2}{4}-a}.$$ この条件のもとで $$\displaystyle G(x)=4\left(x+\frac{a+2}{4}\right)^2$$ となり、$-1<x_0<1$ で実際に最小値 $0$ をとる。

$(a,b)$ 平面では $$\displaystyle b=\frac{(a-2)^2}{4}-1,\qquad -6<a<2$$ で表される放物線の一部分を描けばよい。端点に当たる $(-6,15)$ と $(2,-1)$ は条件の不等号に等号を含まないので含まず、図では白丸にする。