3近畿大学 2013年 数学 第3問解答・解説

$t=\sin x+\cos x$ とおくと、$\sin2x=2\sin x\cos x=(\sin x+\cos x)^2-1=t^2-1$ だから $$f(x)=|t^2-2t|.$$ よって $$g(t)=|t^2-2t|=\begin{cases}t^2-2t&(t\leq0),\\2t-t^2&(t\geq0).\end{cases}$$

(2) $\displaystyle t=\sqrt2\sin\left(x+\frac\pi4\right)$ と表せるので、$-\sqrt2\leq t\leq\sqrt2$ である。区間 $0\leq x\leq2\pi$ ではこの範囲の値をすべてとる。

(3) $t\leq0$ では $g(t)=t^2-2t$ は $t=-\sqrt2$ で最大値 $2+2\sqrt2$、$t=0$ で最小値0をとる。$0\leq t\leq\sqrt2$ では $g(t)=2t-t^2=1-(t-1)^2$ であり、最大値1をとる。したがって全体で $$0\leq f(x)\leq2+2\sqrt2.$$

(4) $a=2\sqrt2-2$, $M=2+2\sqrt2$ とおく。$-\sqrt2\le t\le0$ では $g(t)=t^2-2t$ が $M$ から0まで単調に減るため、$0\leq k\leq M$ ならこの区間に $t$ の解が1個ある。$0\le t\le\sqrt2$ では $g(t)=2t-t^2$ が $t=1$ まで増加し、そこから $t=\sqrt2$ まで減少する。端点値は $g(0)=0$, $g(\sqrt2)=a$ である。したがって正の側の解の個数は、$k=0$ で1個、$0<k<a$ で1個、$k=a$ で2個、$a<k<1$ で2個、$k=1$ で1個、$k>1$ で0個となる（ただし $k=a$ の一つは $t=\sqrt2$）。$k=0$ では両側に数えた $t=0$ は同じ解である。

$\displaystyle t=\sqrt2\sin(x+\frac\pi4)$ に対し、$-\sqrt2<t<\sqrt2$ の各値は通常 $x$ を2個与える。ただし $t=1$ は $\displaystyle x=0,\frac\pi2,2\pi$ の3個を与える。また $t=\pm\sqrt2$ はそれぞれ1個を与える。以上より、異なる実数解の個数 $l$ は $$l=\begin{cases} 0&(k<0\text{ または }k>M),\\ 2&(k=0),\\ 4&(0<k<a),\\ 5&(k=a),\\ 6&(a<k<1),\\ 5&(k=1),\\ 2&(1<k<M),\\ 1&(k=M). \end{cases}$$ 特に $k=1$ では $t=1$ が3個の $x$ を与え、さらに負の側の $t=1-\sqrt2$ が2個の $x$ を与えるため、$l=5$ である。