1近畿大学 2013年 数学 第1問解答・解説

$BD:DC=1:2$ だから、内分点の公式から $$\displaystyle D\left(-\frac13,0\right),\qquad E\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right).$$ 直線 $AB$ の方向を表す単位ベクトルは $\displaystyle \left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right)$ である。$\displaystyle \overrightarrow{BD}=\left(\frac23,0\right)$ のこの方向への射影の長さは $\displaystyle \frac13$ だから、$D$ から直線 $AB$ に下ろした垂線の足は $$\displaystyle F=B+\frac13\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right)=\left(-\frac56,\frac{\sqrt3}{6}\right).$$ よって $T=2F-D$ から $$\displaystyle T\left(-\frac43,\frac{\sqrt3}{3}\right).$$

(2) $TR:RE=s:(1-s)$ より $R=(1-s)T+sE$ である。したがって $$\displaystyle R\left(-\frac43+\frac{11s}{6},\frac{\sqrt3(2+s)}6\right).$$ 一方、$\overrightarrow{BA}=(1,\sqrt3)$, $\overrightarrow{BC}=(2,0)$ だから $$\overrightarrow{BR}=m\overrightarrow{BA}+n\overrightarrow{BC}$$ の $y$ 座標から $\displaystyle m=\frac{2+s}{6}$、$x$ 座標から $\displaystyle -1+m+2n=-\frac43+\frac{11s}{6}$ となり、 $$\displaystyle m=\frac{s+2}{6},\qquad n=\frac{5s-2}{6}.$$ $R$ が線分 $AB$ 上にあるには $n=0$ であればよい。これより $\displaystyle s=\frac25$ で、このとき $\displaystyle m=\frac25$ も $0\leq m\leq1$ を満たす。

(3) $D$ を直線 $AB$ に関して反転した点が $T$ であり、$P$ はこの直線上にあるから $DP=TP$ である。よって $$DP+PE=TP+PE\geq TE.$$ 線分 $TE$ と直線 $AB$ の交点を求める。$T+u(E-T)$ とおくと、直線 $AB$ の方程式 $y=\sqrt3(x+1)$ を満たすのは $\displaystyle u=\frac25$ のときであり、その点は $$\displaystyle P=\left(-\frac35,\frac{2\sqrt3}{5}\right)=B+\frac25\overrightarrow{BA}$$ である。これは線分 $AB$ 上にあるので等号が成立する。したがって最小値は $$\displaystyle TE=\sqrt{\left(\frac{11}{6}\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{6}\right)^2}=\frac{\sqrt{31}}3,$$ また $\displaystyle BP=\frac25\,AB=\frac45$ である。

(4) $D$ を直線 $AB$ に関して反転した点を $T$、直線 $AC$ に関して反転した点を $U$ とすると、$\displaystyle T=\left(-\frac43,\frac{\sqrt3}{3}\right)$ および $\displaystyle U=\left(\frac53,\frac{2\sqrt3}{3}\right)$ である。反転で距離が保たれるので $$DP+PQ+QD=TP+PQ+QU\geq TU.$$ 直線 $TU$ を $T+u(U-T)$ と表すと、$\displaystyle u=\frac14$ で直線 $AB$ と交わり、$\displaystyle u=\frac35$ で直線 $AC$ と交わる。この順に交点はそれぞれ $$\displaystyle P=\left(-\frac7{12},\frac{5\sqrt3}{12}\right),\qquad Q=\left(\frac7{15},\frac{8\sqrt3}{15}\right)$$ であり、どちらも対応する辺の内部にある。ゆえに $T,P,Q,U$ はこの順に一直線上に並び、下限 $TU$ が達成される。最小値は $$\displaystyle TU=\sqrt{3^2+\left(\frac{\sqrt3}{3}\right)^2}=\frac{2\sqrt{21}}3.$$ 最後に、$BP$ の直線の傾きは $\sqrt3$、$PQ$ の傾きは $$\displaystyle \frac{\frac{7\sqrt3}{60}}{\frac{21}{20}}=\frac{\sqrt3}{9}$$ である。これらの直線のなす鋭角の正接は $$\displaystyle \frac{\sqrt3-\frac{\sqrt3}{9}}{1+\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{9}}=\frac{2\sqrt3}{3}.$$ $\overrightarrow{PB}$ と $\overrightarrow{PQ}$ がつくる $\angle BPQ$ はこの鋭角の補角であるから $$\displaystyle \tan\angle BPQ=-\frac{2\sqrt3}{3}.$$