2近畿大学 2013年 数学 第2問解答・解説

$\overrightarrow{OA}=\vec a$, $\overrightarrow{OB}=\vec b$, $\overrightarrow{OC}=\vec c$ とする。正四面体の各辺の長さが1なので $$\displaystyle |\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=1,\qquad \vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec c=\vec c\cdot\vec a=\frac12.$$ また $\displaystyle OP=\frac13$, $\displaystyle OQ=\frac12$, $OR=r$ である。

(1) $$\displaystyle PQ^2=\left|\frac13\vec a-\frac12\vec b\right|^2 =\frac19+\frac14-\frac16=\frac7{36},$$ したがって $\displaystyle PQ=\dfrac{\sqrt7}{6}$ である。

(2) $\displaystyle \overrightarrow{CP}=\frac13\vec a-\vec c$, $\displaystyle \overrightarrow{CQ}=\frac12\vec b-\vec c$ とおくと $$\displaystyle CP^2=\frac79,\qquad CQ^2=\frac34,\qquad \overrightarrow{CP}\cdot\overrightarrow{CQ}=\frac23.$$ 二辺とその間の角による面積公式から、三角形 $PQC$ の面積を $S$ とすると $$\displaystyle S^2=\frac14\left(CP^2CQ^2-(\overrightarrow{CP}\cdot\overrightarrow{CQ})^2\right) =\frac14\left(\frac7{12}-\frac49\right)=\frac5{144}.$$ よって $\displaystyle S=\dfrac{\sqrt5}{12}$ である。

(3) $R$ の位置ベクトルを $r\vec c$ とする。$\displaystyle \vec u=\overrightarrow{PQ}=\frac12\vec b-\frac13\vec a$, $\displaystyle \vec v=\overrightarrow{PR}=r\vec c-\frac13\vec a$ とおくと、上の内積から $$\displaystyle |\vec u|^2=\frac7{36},\qquad |\vec v|^2=r^2-\frac r3+\frac19,\qquad \vec u\cdot\vec v=\frac r{12}+\frac1{36}.$$ したがって三角形 $PQR$ の面積 $S(r)$ は $$\displaystyle S(r)^2=\frac14\left(|\vec u|^2|\vec v|^2-(\vec u\cdot\vec v)^2\right) =\frac{27r^2-10r+3}{576}.$$ ここで $0\leq r\leq1$ である。二次式 $27r^2-10r+3$ は $\displaystyle r=\frac5{27}$ で最小となり、その値は $$\displaystyle 27\left(\frac5{27}\right)^2-10\left(\frac5{27}\right)+3=\frac{56}{27}.$$ ゆえに面積の最小値は $\displaystyle \dfrac1{24}\sqrt{\frac{56}{27}}=\dfrac{\sqrt{42}}{108}$ である。

(4) 三角形 $PQR$ 内の点 $H$ を $$\overrightarrow{OH}=\lambda\overrightarrow{OP}+\mu\overrightarrow{OQ}+\nu\overrightarrow{OR},\qquad \lambda+\mu+\nu=1$$ と表すと、$H$ が内部にある条件は $\lambda,\mu,\nu>0$ である。$OH$ が平面 $PQR$ に垂直であるためには、$\overrightarrow{OH}\cdot(\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP})=0$ および $\overrightarrow{OH}\cdot(\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OP})=0$ が必要十分で、これは $\overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{OR}$ と同値である。$\displaystyle \overrightarrow{OP}=\frac13\vec a$, $\displaystyle \overrightarrow{OQ}=\frac12\vec b$, $\overrightarrow{OR}=r\vec c$ の内積を代入して解くと $$\displaystyle \lambda=\frac{3r(7r-1)}{\Delta},\qquad \mu=\frac{2r(3r-1)}{\Delta},\qquad \nu=\frac{3-5r}{\Delta},\qquad \Delta=27r^2-10r+3.$$ $\Delta$ は判別式が $(-10)^2-4\cdot27\cdot3=-224<0$ で、最高次係数が正だから常に正である。$0\leq r\leq1$ のもとで三係数がすべて正となるには $\displaystyle r>\frac13$ かつ $\displaystyle r<\frac35$ が必要であり、この範囲では $\lambda$ も正となる。したがって求める範囲は $$\displaystyle \frac13<r<\frac35.$$