1東海大学 2021年 2日目 数学 第1問解答・解説

(1) まず、$x-y=0$ と $x+y-2=0$ の交点は (1,1)、$x-y=0$ と $3x-y-6=0$ の交点は (3,3)、$x+y-2=0$ と $3x-y-6=0$ の交点は (2,0) である。これらをそれぞれ A,B,C とする。辺の長さは $$BC=\sqrt{10},\qquad CA=\sqrt2,\qquad AB=2\sqrt2$$ である。内心 I から3辺への距離は等しいので、三角形 IBC, ICA, IAB の面積比は辺長の比 BC:CA:AB に等しい。したがって内心の重心座標は対辺の長さに比例し、座標は $$\displaystyle I=\frac{\sqrt{10}A+\sqrt2 B+2\sqrt2 C}{\sqrt{10}+3\sqrt2} =\left(\frac{\sqrt5+7}{\sqrt5+3},1\right) =(4-\sqrt5,1)$$ となる。

(2) 二項係数は $$\displaystyle \binom{20}{7}=77520=2^4\cdot3\cdot5\cdot17\cdot19 \quad(2^4\cdot3\cdot5\cdot17\cdot19=77520).$$ 20! に含まれる 2,3,5,7,11,13,17,19 の指数は、それぞれ $$10+5+2+1=18,\quad 6+2=8,\quad4,\quad2,\quad1,\quad1,\quad1,\quad1$$ である（一般に p の指数は $\lfloor20/p\rfloor+\lfloor20/p^2\rfloor+\cdots$）。よって $$\displaystyle \frac{20!}{2^{10}3^6 5^1 7^2}=2^8\cdot3^2\cdot5^3\cdot11\cdot13\cdot17\cdot19.$$ 両者の最大公約数は共通する素因数の指数の小さい方を取るので $$2^4\cdot3\cdot5\cdot17\cdot19$$ である。

(3) 回転の中心を z_0 とすると $$\displaystyle w-z_0=e^{i\pi/6}(z-z_0),\qquad z_0=\frac{w-e^{i\pi/6}z}{1-e^{i\pi/6}}.$$ 恒等式 $$\displaystyle e^{iA}-e^{iB}=2i\sin\frac{A-B}{2}\,e^{i(A+B)/2}$$ を使うと、$z=e^{13\pi i/12},\ w=e^{17\pi i/12}$ より $$\displaystyle \begin{aligned} w-e^{i\pi/6}z&=e^{17\pi i/12}-e^{15\pi i/12} =2\sin\frac{\pi}{12}\,e^{11\pi i/6},\\ 1-e^{i\pi/6}&=2\sin\frac{\pi}{12}\,e^{-5\pi i/12}. \end{aligned}$$ ゆえに $\displaystyle z_0=e^{i\pi/4}=\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i$ である。

(4) $t=\tan x,\quad s=\tan h$ とおく。加法定理から $$\displaystyle \tan(x+h)=\frac{t+s}{1-ts},\qquad \tan(x-h)=\frac{t-s}{1+ts}$$ であり、通分すると $$\displaystyle \tan(x+h)+\tan(x-h)-2\tan x =\frac{2t(1+t^2)s^2}{1-t^2s^2}.$$ したがって $\displaystyle \lim\limits _{h\to0}\tan h/h=1$ を用いて $$f(x)=2\tan x(1+\tan^2x).$$ $x=\pi/6$ では $\tan x=1/\sqrt3$ だから $$\displaystyle f\!\left(\frac\pi6\right)=\frac{8}{3\sqrt3}=\frac{8\sqrt3}{9}.$$

(5) 位置ベクトルをそれぞれ a,b,c,p とすると、条件は $$2(p-a)+3(p-b)+4(p-c)=0$$ すなわち $$\displaystyle p=\frac{2a+3b+4c}{9} =\frac29a+\frac79\left(\frac{3b+4c}{7}\right)$$ となる。よって $\displaystyle d=\frac{3b+4c}{7}$ は BC 上にあり、BD:DC=4:3 である。また $\displaystyle p=\frac{2a+7d}{9}$ より、P は線分 AD を AP:PD=7:2 に内分する。したがって $$\displaystyle \frac{BD}{CD}=\frac43,\qquad \frac{AP}{PD}=\frac72.$$