3東海大学 2021年 2日目 数学 第3問解答・解説

$$\displaystyle f_2(x)=f_1\!\left(\frac1{x+2}\right)=\frac{3x+7}{2x+5},\qquad$$ $$\displaystyle f_3(x)=f_2\!\left(\frac1{x+2}\right)=\frac{7x+17}{5x+12}.$$ したがって $$a_2=7,\quad b_2=5,\quad a_3=17,\quad b_3=12.$$

$n\geq2$ で与えられた表示を用いると $$\displaystyle \begin{aligned} f_{n+1}(x)&=f_n\!\left(\frac1{x+2}\right)\\ &=\frac{a_{n-1}/(x+2)+a_n}{b_{n-1}/(x+2)+b_n}\\ &=\frac{a_nx+(2a_n+a_{n-1})}{b_nx+(2b_n+b_{n-1})}. \end{aligned}$$ 係数を比較して $n\geq2$ で $$a_{n+1}=2a_n+a_{n-1},\qquad b_{n+1}=2b_n+b_{n-1}.$$ また、先に求めた $a_3=17=2a_2+a_1$、$b_3=12=2b_2+b_1$ から $n=1$ でも成り立つ。したがって $n\geq1$ で $$a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n,\qquad b_{n+2}=2b_{n+1}+b_n.$$

$\alpha=1+\sqrt2,\ \beta=1-\sqrt2$ とすると $\alpha+\beta=2,\ \alpha\beta=-1$ である。したがって $$\begin{aligned} a_{n+2}-\alpha a_{n+1} &=(2-\alpha)a_{n+1}+a_n\\ &=\beta a_{n+1}-\alpha\beta a_n =\beta(a_{n+1}-\alpha a_n), \end{aligned}$$ また同様に $a_{n+2}-\beta a_{n+1}=\alpha(a_{n+1}-\beta a_n)$ となる。$c_n=a_{n+1}-\alpha a_n$ とおくと $$c_1=7-3(1+\sqrt2)=4-3\sqrt2,\qquad c_{n+1}=\beta c_n,$$ ゆえに $c_n=(4-3\sqrt2)\beta^{n-1}$ である。

$\alpha^2=2\alpha+1,\ \beta^2=2\beta+1$ なので、$\alpha^{n-1}$ と $\beta^{n-1}$ はともに上の漸化式を満たす。$\alpha\ne\beta$ なので、$A\alpha^0+B\beta^0=a_1=3$ と $A\alpha+B\beta=a_2=7$ を満たす A,B が定まり、この形の数列は $a_n$ と同じ漸化式と初項をもつ。よって帰納法で $$a_n=A\alpha^{n-1}+B\beta^{n-1}$$ と表せる。このとき $$c_n=B(\beta-\alpha)\beta^{n-1}.$$ $\beta-\alpha=-2\sqrt2$ と $c_n=(4-3\sqrt2)\beta^{n-1}$ を比較して $B=3/2-\sqrt2$ となる。また $a_1=3$ から $A=3/2+\sqrt2$ である。したがって $$\displaystyle a_n=\left(\frac32+\sqrt2\right)\alpha^{n-1} +\left(\frac32-\sqrt2\right)\beta^{n-1}.$$

$b_n$ も同じ漸化式を満たす。$\alpha^{n-1},\beta^{n-1}$ が同じ漸化式を満たし、$\alpha\ne\beta$ なので、初項 $b_1=2,b_2=5$ に合わせて係数 $C,D$ を定めると、帰納法で $b_n=C\alpha^{n-1}+D\beta^{n-1}$ となる。初項から $$C+D=2,\qquad C\alpha+D\beta=5$$ を解くと $C=1+3\sqrt2/4,\ D=1-3\sqrt2/4$ だから $$\displaystyle b_n=\left(1+\frac{3\sqrt2}{4}\right)\alpha^{n-1} +\left(1-\frac{3\sqrt2}{4}\right)\beta^{n-1}.$$

$f_n(0)=a_n/b_n$ であり、$\alpha>1,\ |\beta|=\sqrt2-1<1$ なので $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}f_n(0) =\frac{3/2+\sqrt2}{1+3\sqrt2/4}=\sqrt2.$$