4和歌山県立医科大学 2015年 数学 第4問解答・解説

生存している1個は、次の1時間に確率 $p$ で2個に分裂して両方が生存し、確率 $1-p$ で死滅する。まず $P_1=p$ である。

(1) 2時間後に生存個体があるには、最初の1時間で分裂し、その後の2個のうち少なくとも一方がさらに1時間後に生存すればよい。よって $$P_2=p\{1-(1-p)^2\}=2p^2-p^3.$$ 同じ考え方をもう一度用いて $$P_3=p\{1-(1-P_2)^2\}=pP_2(2-P_2)=p^3(2-p)(2-2p^2+p^3).$$

(2) 最初の1時間で分裂した後、それぞれの系統で $n$ 時間後に生存個体がある確率は $P_n$ であり、二つの系統は独立である。したがって $$P_{n+1}=p\{1-(1-P_n)^2\}=p(2P_n-P_n^2).$$

(3) $\displaystyle p=\frac13$ なら $\displaystyle 0\le P_{n+1}\le\frac23P_n$ である。$\displaystyle P_1=\frac13$ だから $\displaystyle 0\le P_n\le\frac13(\frac23)^{n-1}$ となり、$n\to\infty$ で $P_n\to0$。

(4) $\displaystyle r=\frac{a-2}{a-1}$ とおく。$a>2$ より $0<r<1$、また $\displaystyle p=\frac{a-1}{a}$ は $0<p<1$ である。漸化式の右辺を $F(u)=p(2u-u^2)$ と書くと、$p(2-r)=1$ だから $F(r)=r$ であり、 $$F(u)-F(r)=p(u-r)(2-u-r).$$ 初項は $$\displaystyle Q_1=P_1-r=p-r=\frac{1}{a(a-1)}>0,\qquad P_1=p<1.$$ $r<P_n<1$ ならば $2-P_n-r>0$ なので $$Q_{n+1}=P_{n+1}-r=pQ_n(2-P_n-r)>0.$$ また $P_{n+1}=p\{1-(1-P_n)^2\}<p<1$ であるから、帰納的に $r<P_n<1$ がすべての $n$ で成り立つ。さらに $P_n>r$ より $$\displaystyle 0<p(2-P_n-r)<2p(1-r)=\frac2a<1,$$ したがって $0<Q_{n+1}<Q_n$ である。

(5) 上の評価から $\displaystyle 0<Q_{n+1}<\frac2aQ_n$ である。$a>2$ より $0<2/a<1$ なので、$Q_n$ は比が $2/a$ の等比数列の項より小さくなり、$Q_n\to0$。よって $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}P_n=r=\frac{a-2}{a-1}.$$