3和歌山県立医科大学 2015年 数学 第3問解答・解説

(1) 点 $(0,0,1)$ から $(\sqrt3,1,1)$ への方向ベクトルは $(\sqrt3,1,0)$ で、その長さは $2$ である。点 $Q$ はこの向きに速さ $2$ で進むので速度ベクトルは $(\sqrt3,1,0)$ となる。初期位置から $$P=(t-4,0,0),\qquad Q=(\sqrt3t,t,1).$$

(2) $OP$ は $x$ 軸上にあり、$OP=|t-4|$。点 $Q$ から $x$ 軸までの距離は $\sqrt{t^2+1}$ なので、三角形の面積は $$\displaystyle S=\frac{|t-4|}{2}\sqrt{t^2+1}.$$

(3) 指定区間では $t<4$ だから $\displaystyle S=\frac{4-t}{2}\sqrt{t^2+1}$。微分すると $$\displaystyle S'(t)=\frac{-2t^2+4t-1}{2\sqrt{t^2+1}}.$$ 停留点は $\displaystyle t=1\pm\frac{\sqrt2}{2}$ であり、いずれも指定区間内にある。分子の符号は、左端から順に負、正、負と変わるので、$\displaystyle t=1-\frac{\sqrt2}{2}$ で極小、$\displaystyle t=1+\frac{\sqrt2}{2}$ で極大となる。端点と停留点の値は $$\displaystyle S(-0.33)=\frac{433\sqrt{11089}}{20000}\simeq2.27984,\quad S\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right)=\frac{3+\sqrt2/2}{2}\sqrt{\frac52-\sqrt2}\simeq1.93142,$$ $$\displaystyle S\left(1+\frac{\sqrt2}{2}\right)=\frac{3-\sqrt2/2}{2}\sqrt{\frac52+\sqrt2}\simeq2.26817,\quad S(2.6)=\frac{7\sqrt{194}}{50}\simeq1.94997.$$ 比較を厳密に行うため、正の面積の平方を比較する。$t_\pm=1\pm\sqrt2/2$ とすると $$\displaystyle S(t_-)^2=\frac{71}{16}-\frac{\sqrt2}{2},\quad S(t_+)^2=\frac{71}{16}+\frac{\sqrt2}{2},$$ $$\displaystyle S(-0.33)^2=\frac{2079065521}{400000000},\qquad S(2.6)^2=\frac{4753}{1250}.$$ $1.4^2<2<1.42^2$ より $1.4<\sqrt2<1.42$ である。従って $$\displaystyle \begin{aligned} S(t_-)^2&<3.7375<\frac{4753}{1250},\\ \frac{4753}{1250}&<5.1375<S(t_+)^2 <5.1475<\frac{2079065521}{400000000}. \end{aligned}$$ ここで有限小数はすべて正確な有理数であり、近似比較ではない。 よって $S(t_-)<S(2.6)<S(t_+)<S(-0.33)$ である。

これらを比較すると、最大値は $t=-0.33$ で $\displaystyle \frac{433\sqrt{11089}}{20000}$、最小値は $\displaystyle t=1-\frac{\sqrt2}{2}$ で $\displaystyle \frac{3+\sqrt2/2}{2}\sqrt{\frac52-\sqrt2}$ である。端点および停留点をすべて比較したので、区間全体での最大・最小である。