4愛媛大学 2022年 数学 第4問解答・解説

(1) $\displaystyle f(x)=\allowbreak{}\sin^{2}\!\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)$ とおく。半角・倍角の関係 $\displaystyle \sin^{2}u=\allowbreak{}\dfrac{1-\cos 2u}{2}$ より $\displaystyle f(x)=\allowbreak{}\dfrac{1-\cos\!\left(4x+\dfrac{2\pi}{3}\right)}{2}$ であるから，$\displaystyle f'(x)=\allowbreak{}2\sin\!\left(4x+\dfrac{2\pi}{3}\right)$。よって $\displaystyle f'(0)=\allowbreak{}2\sin\dfrac{2\pi}{3}=\allowbreak{}2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\allowbreak{}\sqrt{3}$。　 　 (2) 分母 $x\to 0$ であるから，極限が有限値をもつためには分子も $x\to 0$ で $0$ に収束しなければならない（さもなければ極限は発散する）。よって $\sqrt{a\cdot 0+4}-b=\allowbreak{}0$，すなわち $b=\allowbreak{}2$（$\sqrt{4}=\allowbreak{}2>0$ をとる）。このとき $$\displaystyle \frac{\sqrt{ax+4}-2}{x}=\frac{(\sqrt{ax+4}-2)(\sqrt{ax+4}+2)}{x(\sqrt{ax+4}+2)}=\frac{ax+4-4}{x(\sqrt{ax+4}+2)}=\frac{a}{\sqrt{ax+4}+2}\ (x\neq 0).$$ $x\to 0$ で右辺は $\displaystyle \dfrac{a}{2+2}=\allowbreak{}\dfrac{a}{4}$ に収束するから，$\displaystyle \dfrac{a}{4}=\allowbreak{}1$ より $a=\allowbreak{}4$。以上より $a=\allowbreak{}4,\allowbreak{}\ b=\allowbreak{}2$。　 　 (3) $\overrightarrow{AB}=\allowbreak{}(0,\allowbreak{}-2,\allowbreak{}0)$ より $AB=\allowbreak{}2$。$\overrightarrow{AC}=\allowbreak{}(-q-p,\allowbreak{}-1,\allowbreak{}0)$，$\overrightarrow{BC}=\allowbreak{}(-q-p,\allowbreak{}1,\allowbreak{}0)$ であり，$AC^{2}=\allowbreak{}BC^{2}=\allowbreak{}(p+q)^{2}+1$ が常に成り立つから，$\triangle ABC$ が正三角形になる条件は $AC=\allowbreak{}AB$ のみである： $$(p+q)^{2}+1=4\ \quad\text{より}\quad\ (p+q)^{2}=3\ \quad\text{より}\quad\ p+q=\sqrt{3}\quad(p,q>0\text{ より}).$$ 次に $\overrightarrow{AD}=\allowbreak{}(-p,\allowbreak{}-1,\allowbreak{}1)$，$\overrightarrow{BC}=\allowbreak{}(-q-p,\allowbreak{}1,\allowbreak{}0)$ の内積が $0$ であることから $$\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}=p(p+q)-1+0=0\ \quad\text{より}\quad\ p(p+q)=1.$$ $p+q=\allowbreak{}\sqrt{3}$ を代入すると $p\sqrt{3}=\allowbreak{}1$ より $\displaystyle p=\allowbreak{}\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\allowbreak{}\dfrac{\sqrt{3}}{3}$。よって $\displaystyle q=\allowbreak{}\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\allowbreak{}\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$。いずれも正であり条件に適する。　 　 (4) 一般に $|z-w|^{2}=\allowbreak{}(z-w)\overline{(z-w)}=\allowbreak{}|z|^{2}+|w|^{2}-(z\overline{w}+\overline{z}w)=\allowbreak{}|z|^{2}+|w|^{2}-2\,\allowbreak{}\mathrm{Re}(z\overline{w})$。$|z|=\allowbreak{}2,\allowbreak{}\ |w|=\allowbreak{}5,\allowbreak{}\ \mathrm{Re}(z\overline{w})=\allowbreak{}3$ を代入して $$|z-w|^{2}=4+25-2\cdot 3=23,\qquad |z-w|=\sqrt{23}.$$ 　 　 (5) $\displaystyle k=\allowbreak{}\displaystyle\int_{0}^{\pi}f(t)\sin t\,\allowbreak{}dt$ は定数であるから，$f(x)=\allowbreak{}x+k$ の形をもつ。これを $k$ の定義式に代入すると $$\displaystyle k=\int_{0}^{\pi}(t+k)\sin t\,dt=\int_{0}^{\pi}t\sin t\,dt+k\int_{0}^{\pi}\sin t\,dt.$$ 部分積分により $\displaystyle\int_{0}^{\pi}t\sin t\,\allowbreak{}dt=\allowbreak{}\bigl[-t\cos t+\sin t\bigr]_{0}^{\pi}=\allowbreak{}(\pi+0)-(0+0)=\allowbreak{}\pi$，また $\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin t\,\allowbreak{}dt=\allowbreak{}\bigl[-\cos t\bigr]_{0}^{\pi}=\allowbreak{}2$。よって $k=\allowbreak{}\pi+2k$，すなわち $k=\allowbreak{}-\pi$。したがって $f(x)=\allowbreak{}x-\pi$ であり，$f(0)=\allowbreak{}-\pi$。（検算：$\displaystyle \int_{0}^{\pi}(t-\pi)\sin t\,\allowbreak{}dt=\allowbreak{}\pi-2\pi=\allowbreak{}-\pi=\allowbreak{}k$ で一致。）　 　 (6) $x=\allowbreak{}t+e^{t},\allowbreak{}\ y=\allowbreak{}2+\log t\ (t>0)$ について，$\displaystyle \dfrac{dx}{dt}=\allowbreak{}1+e^{t},\allowbreak{}\ \dfrac{dy}{dt}=\allowbreak{}\dfrac{1}{t}$ であるから $$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{1}{t(1+e^{t})}.$$ $t=\allowbreak{}1$ のとき，接点は $(x_{1},\allowbreak{}y_{1})=\allowbreak{}(1+e,\allowbreak{}\ 2)$，傾きは $\displaystyle \dfrac{1}{1\cdot(1+e)}=\allowbreak{}\dfrac{1}{1+e}$。よって接線は $$\displaystyle y-2=\frac{1}{1+e}\bigl(x-(1+e)\bigr)\ \quad\text{より}\quad\ y=\frac{1}{1+e}x-1+2=\frac{1}{1+e}x+1.$$ （検算：$x=\allowbreak{}1+e$ を代入すると $\displaystyle y=\allowbreak{}\dfrac{1+e}{1+e}+1=\allowbreak{}1+1=\allowbreak{}2$ で一致。）以上より $\displaystyle \text{ク}=\allowbreak{}\dfrac{1}{1+e},\allowbreak{}\ \text{ケ}=\allowbreak{}1$。