4福島県立医科大学 2026年 数学 第4問解答・解説

(1) $\displaystyle y=\dfrac{e^x}{(1+x)^2}$ とおくと $$\displaystyle y'=\frac{e^x(x-1)}{(1+x)^3}.$$ したがって $0\le x<1$ で減少し、$x>1$ で増加する。よって最小値は $x=1$ のときの $\displaystyle \dfrac e4$ である。

(2) (1)より、すべての $x\ge0$ について $$\displaystyle \frac{e^x}{(1+x)^2}\ge\frac e4, \qquad \frac{e^{-x}}4\le\frac{1}{e(1+x)^2}$$ が成り立つ。また $$\displaystyle f'(x)=-\frac{1}{(1+x)^2}+\frac14e^{-x}(\cos x-\sin x).$$ $\cos x\le1$、$\sin x\ge-1$ より $\cos x-\sin x\le2$ だから、$e>2$ を用いると $$\displaystyle f'(x)\le-\frac{1}{(1+x)^2}+\frac12e^{-x} \le-\frac{1-2/e}{(1+x)^2}<0.$$ したがって $f$ は $x\ge0$ でxが大きくなると値が必ず小さくなり、$f(0)=1$、$\displaystyle \lim\limits _{x\to\infty}f(x)=0$ である。連続性とこの極限から、$f$ の値域は $0<y\le1$ となる。よって逆関数は存在し、その定義域は $0<x\le1$ である。

(3) $b=2n\pi$ とおくと、$\displaystyle f(b)=\dfrac1{1+b}$、$f(0)=1$ である。置換 $u=f(x)$ と部分積分により $$\displaystyle \begin{aligned} \int_{1/(1+b)}^1 f^{-1}(u)\,du &=\int_b^0 x f'(x)\,dx\\ &=[xf(x)]_b^0-\int_b^0 f(x)\,dx\\ &=\int_0^b f(x)\,dx-bf(b). \end{aligned}$$ ここで $b=2n\pi$ なので $$\displaystyle \int_0^b e^{-x}\sin x\,dx =\left[-\frac12e^{-x}(\sin x+\cos x)\right]_0^b =\frac{1-e^{-b}}2.$$ したがって $$\displaystyle \int_0^b f(x)\,dx=\log(1+b)+\frac18(1-e^{-b}), \qquad bf(b)=\frac{b}{1+b}.$$ 以上より、求める値は $$\displaystyle \log(1+2n\pi)-\frac{2n\pi}{1+2n\pi}+\frac{1-e^{-2n\pi}}8$$ である。