愛媛大学 2013年数学第8問解答・解説

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1問題

愛媛大学2013年度第8問

（理学部・工学部（環境建設工学科社会デザインコースを除く）・医学部）関数 $f(x),g(x)$ を $\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x}\log t\,dt,\qquad g(x)=\int_{1}^{x}t e^{t-1}\,dt$ で定める。ただし、 $f(x)$ は $x>0$ の範囲で考える。　 (1) $f(x),g(x)$ を求めよ。　 (2) $x>0$ のとき、 $g(x)>g(-x)$ が成り立つことを示せ。　 (3) 実数 $a,b$ が $0<a<b$ と $f(a)=f(b)$ を満たすとき、次の(i)、(ii)、(iii)が成り立つことを示せ。　 (i) $a<1<b$ 。　 (ii) $g(\log a)=g(\log b)$ 。　 (iii) $ab<1$ 。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

(1) 部分積分から $f(x)=x\log x-x+1$ ， $g(x)=(x-1)e^{x-1}$ 。 (2) $D(x)=g(x)-g(-x)$ とおく。 $D(0)=0$ ， $x>0$ で $D'(x)=x(e^{x-1}-e^{-x-1})>0.$ 従って $D(x)>0$ ，すなわち $g(x)>g(-x)$ 。 (3)(i) $f'(x)=\log x$ なので $f$ は $0<x<1$ で減少， $x>1$ で増加する。同じ値をとる異なる2点 $a<b$ が片側だけにあることはできず， $a<1<b$ 。 (ii) $f(a)=f(b)$ から $a(\log a-1)=b(\log b-1)$ 。 $g(\log a)=a(\log a-1)/e$ ， $b$ も同様なので指定の等式が従う。 (iii) $u=\log a<0$ ， $v=\log b>0$ とする。(ii)と(2)より $g(u)=g(v)>g(-v)$ 。負の範囲では $g'(x)=xe^{x-1}<0$ なので $u<-v$ 。よって $\log(ab)=u+v<0$ ，従って $ab<1$ 。

この問題で使う考え方

指数関数のグラフ・増減
等式・不等式の証明
対数関数のグラフ・増減
導関数と増減
合成関数の微分
指数・対数関数の微分
三角・指数・対数関数等の積分
不定積分・定積分の性質

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