2愛媛大学 2013年 数学 第2問解答・解説

共通指示では、本問は教育学部・農学部・工学部環境建設工学科社会デザインコースの解答対象である。

(1)　 A は $\ell_1$ と $\ell_2$ の交点だから、 $$-2x+3=5$$ より $-2x=2$、したがって $x=-1$、$y=5$ である。よって $A=(-1,5)$。また、$B=(0,5)$。

(2)　 円の方程式を $x^2+y^2+lx+my+n=0$ とおく。$O=(0,0)$ を通るので $n=0$。さらに $B=(0,5)$ を代入すると $25+5m=0$ より $m=-5$。$A=(-1,5)$ を代入すると $26-l+5m=0$ であり、$m=-5$ を用いて $1-l=0$、よって $l=1$。したがって $$C_1:x^2+y^2+x-5y=0.$$

(3)(i)　 $(\alpha,\beta)$ は $C_2$ 上にあるから $\alpha^2+\beta^2=4$。一方、$C_1$ 上にあるから $\alpha^2+\beta^2+\alpha-5\beta=0$。前者を後者に代入して $4+\alpha-5\beta=0$、すなわち $$\alpha-5\beta+4=0$$ を得る。

(3)(ii)　 (3)(i) より、共通弦は直線 $x-5y+4=0$ 上にある。円 $C_2$ の中心は $O$、半径は $2$ である。$O$ からこの直線までの距離を $d$ とすると、 $$\displaystyle d=\frac{|4|}{\sqrt{1^2+(-5)^2}}=\frac{4}{\sqrt{26}}<2.$$ したがってこの直線は $C_2$ と2点で交わり、これらが2円の共通点である。中心から弦に下ろした垂線は弦を二等分するので、弦の長さを $L$ とすれば、直角三角形より $$\displaystyle \left(\frac{L}{2}\right)^2+d^2=2^2.$$ よって $$\displaystyle L=2\sqrt{4-\left(\frac{4}{\sqrt{26}}\right)^2}=2\sqrt{\frac{44}{13}}=\frac{4\sqrt{143}}{13}.$$