1昭和大学 2021年 数学 第1問解答・解説

agraph{問題1（独立解答）} 円 $C_1$ の半径を $R=2\sqrt7$ と書く。弦で折り返す操作は、 弦を軸とする平面の鏡映である。従って折り返した円の半径も $R$ で、 その中心は元の中心 $O$ の鏡像となる。

agraph{(1)} $C$ は $OB$ の中点なので $C=(\sqrt7,0)$ である。 $C_2$ がここで $x$ 軸に接すれば、その中心の $x$ 座標は $\sqrt7$、 $y$ 座標は $R$ または $-R$ である。一方、折り目 $EF$ は $O$ と鏡像の中心 $D$ の垂直二等分線だから、その中点は $D/2$ である。 $E,F$ の $y$ 座標がともに非負より、$D_y/2\geq0$。 従って $D_y=R$ であり、 $$\boxed{D=(\sqrt7,2\sqrt7)},\qquad \boxed{C_2:(x-\sqrt7)^2+(y-2\sqrt7)^2=28}.$$

agraph{(2)} 弦 $EF$ の中点は、$O$ から弦への垂線の足でもある。従って $C_3$ の中心は $$\displaystyle \boxed{G=\frac{O+D}{2}=\left(\frac{\sqrt7}{2},\sqrt7\right)}.$$ $C_3$ の半径は弦 $EF$ の半分である。直角三角形 $OGE$ から $$\displaystyle GE^2=OE^2-OG^2 =R^2-\left(\frac74+7\right) =28-\frac{35}{4}=\frac{77}{4}.$$ 従って $$\displaystyle \boxed{C_3:\left(x-\frac{\sqrt7}{2}\right)^2 +(y-\sqrt7)^2=\frac{77}{4}}.$$

agraph{(3)} $C_3$ の式に $x=0$ を代入すると $$\displaystyle (y-\sqrt7)^2=\frac{77}{4}-\frac74=\frac{70}{4}.$$ 交点の $y$ 座標は $\sqrt7\pm\sqrt{70}/2$ だから、2点間の距離は $$\boxed{\sqrt{70}}.$$

agraph{(4)} 折り返した円弧と $x$ 軸の接点を $T=(u,0)$ とする。 折り返した円の中心は、弦の両端が上半円上にあることから $D_u=(u,R)$ である。折り目となる弦の直線 $\ell_u$ は $O$ と $D_u$ の垂直二等分線なので、 $$\displaystyle \ell_u:\quad ux+Ry=\frac{u^2+R^2}{2}, \qquad M_u=\left(\frac u2,\frac R2\right)$$ である。ここで $M_u$ は弦の中点である。

接点 $T$ を $\ell_u$ で折り返す前の位置を $T^*$ とすると、 直線の反射公式（垂線の足を挟んで同じ距離だけ移す）から $$\displaystyle T^*=T-\frac{u^2-R^2}{u^2+R^2}(u,R) =\left(\frac{2uR^2}{u^2+R^2}, \frac{R(R^2-u^2)}{u^2+R^2}\right).$$ $T^*$ は折り返す前の上半円弧上にある必要がある。特に $T^*_y\geq0$ から $|u|\leq R$ が必要である。

逆に $|u|\leq R$ なら、$\ell_u$ は円 $C_1$ と異なる2点で交わる。 $|u|<R$ では $\ell_u$ が円板内の $x$ 軸と交わらない。 実際、$u\ne0$ なら $y=0$ での交点は $x=(u^2+R^2)/(2u)$ であり、$|x|>R$ である。 $u=0$ なら $\ell_0:y=R/2$。よって弦の両端は上半円上にある。 $|u|=R$ では、弦の一端が $(\pm R,0)$、他端が $(0,R)$ となり、 両端はやはり上半円上にある。さらに $$\displaystyle (u,R)\cdot T^*=R^2\geq\frac{u^2+R^2}{2}$$ なので $T^*$ は弦から見て $O$ と反対側の円弧 $PQ$ 上にあり、 その鏡像 $T$ は折り返した弧上にある。このことから $|u|\leq R$ は十分でもある。

従って求める弦全体は $$\displaystyle \boxed{PQ\subset\ell_u:\ ux+2\sqrt7\,y =\frac{u^2+28}{2},\qquad -2\sqrt7\leq u\leq2\sqrt7},$$ ただし $P,Q$ はこの直線と上半円 $x^2+y^2=28$, $y\geq0$ の 二つの交点である。弦の中点の範囲と長さの範囲で言い換えると $$\boxed{M_u=(u/2,\sqrt7),\quad-\sqrt7\leq M_{u,x}\leq\sqrt7}, \qquad |PQ|=2\sqrt{R^2-|M_u|^2}=\sqrt{3R^2-u^2}=\sqrt{84-u^2},$$ $$\boxed{2\sqrt{14}\leq |PQ|\leq2\sqrt{21}}.$$ 両端の等号では、$T^*$ が上半円の端点で、折り返した弧も端点で $x$ 軸に接するので、等号を含む。

agraph{(4) の傾きによる表示} 上の弦の直線は $u x+R y=(u^2+R^2)/2$ なので、傾きを $\lambda$ とすれば $\lambda=-u/R$ である。従って同じ存在範囲は $$\boxed{-1\leq\lambda\leq1}$$ とも表せる。