2昭和大学 2021年 数学 第2問解答・解説

(1)$\quad 8$ の倍数かどうかは下3桁 $1\square2$ で決まる。空欄を $d$ とすると、$102+10d$ が $8$ の倍数である条件は $5d+51\equiv0\pmod4$、すなわち $d\equiv1\pmod4$。従って数字は $1,5,9$ である。

(2)$\quad$底の平方根の中身を $R_n=n^2-9n+19$、指数を $E_n=n^2+5n-14=(n+7)(n-2)$ とおく。$n=1$ では $R_n=11$、$E_n=-8$ なので値は $1$ でない。$n=2$ では $E_n=0$ で底は $\sqrt5\ne0$ だから値は $1$。$n=3,6$ では $R_n=1$ なので値は $1$。$n=4,5$ では $R_n=-1$ となり実数の式として定義されない。$n\ge7$ では $R_n>1$ かつ $E_n>0$ だから値は $1$ より大きい。よって $n=2,3,6$。

(3)$\quad$和は$$\displaystyle (n+1)m+\sum\limits _{k=1}^{n}2^k=(n+1)m+2^{n+1}-2=1000\text{。}$$従って$m=(1002-2^{n+1})/(n+1)$。$m$は正なので$2^{n+1}<1002$、従って$1\le n\le8$。この範囲で調べると$$\begin{array}{c|rrrrrrrr} n&1&2&3&4&5&6&7&8\\\hline 1002-2^{n+1}&998&994&986&970&938&874&746&490\\ (n+1)&2&3&4&5&6&7&8&9\\ m&499&\text{整数でない}&\text{整数でない}&194&\text{整数でない}&\text{整数でない}&\text{整数でない}&\text{整数でない} \end{array}$$となる。ゆえに全ての組は$(m,n)=(499,1),(194,4)$。