1東海大学 2021年 1日目 数学 第1問解答・解説

(1) 展開して有理数部分と $\sqrt3$ の係数を比べると $$a^3+9ab^2=530,\qquad 3b(a^2+b^2)=306.$$ 従って $b(a^2+b^2)=102$。正の整数 $b$ は102の約数であり，$b=1,2,3,6,17,34,51,102$。$b=1,2$ では $a^2=101,47$，$b=3$ では $a^2=25$，また $b\geq6$ では $102/b-b^2<0$ となる。よって $a=5,b=3$。実際，$(5+3\sqrt3)^3=530+306\sqrt3$ である。

(2) $611=13\cdot47$，$893=19\cdot47$ であり，13と19は互いに素だから $$\displaystyle \frac{611}{893}=\frac{13}{19}.$$

(3) $\vec O=\vec0$ とし，$\vec A,\vec B$ を点A,Bの位置ベクトルとする。CはOBを7:3に外分するから $\displaystyle \vec C=\frac74\vec B$。またAP:PC=2:sなので $$\displaystyle \vec P=\frac{s\vec A+2\vec C}{s+2} =\frac{s}{s+2}\vec A+\frac{7}{2(s+2)}\vec B.$$ OQ:QP=s:1より $\displaystyle \vec Q=\frac{s}{s+1}\vec P$。QがAB上にあるため，$\vec A,\vec B$ の係数の和は1である。従って $$\displaystyle \frac{s^2}{(s+1)(s+2)}+\frac{7s}{2(s+1)(s+2)}=1,$$ すなわち $2s^2+7s=2(s+1)(s+2)$。これより $s=4$。

(4) $q$ の不等式は $$(x-1)^2+(y-2)^2\leq r^2$$ と同値で，中心 $(1,2)$，半径 $r$ の円の内部を表す。

(i)「pはqであるための必要条件」は $q\quad\text{ならば}\quad p$ である。qの円内では，$x+y$ の値は $3-\sqrt2r$ から $3+\sqrt2r$，$x-y$ の値は $-1-\sqrt2r$ から $-1+\sqrt2r$ の範囲をとる。これらがともに $-5$ 以上 $5$ 以下の範囲に入る条件のうち最も厳しいものは $3+\sqrt2r\leq5$，すなわち $r\leq\sqrt2$ である。rは正だから $0<r\leq\sqrt2$。

(ii)「pはqであるための十分条件」は $p\quad\text{ならば}\quad q$ である。pの表す領域は，$(x+y,x-y)$ を座標とすれば一辺10の正方形であり，$(x,y)$ 平面では頂点 $(5,0),(-5,0),(0,5),(0,-5)$ のひし形となる。中心 $(1,2)$ から各頂点までの距離はそれぞれ $\sqrt{20},\sqrt{40},\sqrt{10},\sqrt{50}$。ひし形内の点は頂点の凸結合なので，中心からの距離の最大値は頂点での最大値 $\sqrt{50}=5\sqrt2$ である。よって $p\quad\text{ならば}\quad q$ となるのは $r\geq5\sqrt2$。

(5) $j=k-1$ とおけば $$\displaystyle c_n=\sum\limits _{j=0}^{n-2}\left(\frac12\right)^j\left(\frac13\right)^{n-2-j} =\frac{(\frac12)^{n-1}-(\frac13)^{n-1}}{\frac12-\frac13} =6\left(\frac1{2^{n-1}}-\frac1{3^{n-1}}\right).$$ 従って $$\displaystyle \sum\limits _{n=2}^{\infty}c_n=6\left(\sum\limits _{m=1}^{\infty}\frac1{2^m}-\sum\limits _{m=1}^{\infty}\frac1{3^m}\right) =6\left(1-\frac12\right)=3.$$