2東海大学 2021年 1日目 数学 第2問解答・解説

A_Q2 — MM-678c61db1bb2-Q2

複素数を解答欄に書くときは極形式を使わず、直交形式で表す。

まず $z\ne0$ に注意して $$\displaystyle z+\frac1z=\sqrt3 \quad\text{すなわち}\quad z^2-\sqrt3z+1=0.$$ 解の公式より $\displaystyle z=\frac{\sqrt3\pm i}{2}$。虚部が正のものは $$\displaystyle \alpha=\frac{\sqrt3+i}{2},\qquad |\alpha|=1,\qquad \overline\alpha=\frac{\sqrt3-i}{2}.$$

(1)

$p,q$ は実数であり、 $$\displaystyle |p+\alpha q|^2 =\left(p+\frac{\sqrt3}{2}q\right)^2+\frac{q^2}{4}=1.$$ したがって $q^2/4\le1$、すなわち $q\le2$。$q=2$ のとき等式を満たすには $$\displaystyle p+\frac{\sqrt3}{2}q=0$$ であればよく、$p=-\sqrt3$ となる。よって $q$ の最大値を与える組は $$(p,q)=(-\sqrt3,2).$$

さらに $|p+iq|=1$ も満たす場合は $$p^2+q^2=1,\qquad p^2+\sqrt3pq+q^2=1.$$ 二式の差から $\sqrt3pq=0$、したがって $pq=0$。候補は $(p,q)=(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0)$ であり、最大の $q$ は $1$ だから組は $$(p,q)=(0,1).$$

(2)

(a), (b)

$|q|=1$ かつ $\alpha q$ が実数なので、$|\alpha q|=1$ より $$\alpha q=1\quad\text{または}\quad \alpha q=-1.$$ したがって $q=\overline\alpha$ または $q=-\overline\alpha$。$t=\alpha q\ (t=1\text{ または }-1)$ とし、$p=x+iy$ とおくと、条件 (b) は $$x^2+y^2=3,\qquad |p+t|^2=4+2tx=1.$$ よって $\displaystyle x=-\frac{3}{2t}$。$t=-1$ なら $\displaystyle x=\frac32>0$ となり条件に反する。したがって $\displaystyle t=1,\ x=-\frac32$。さらに $\displaystyle y^2=3-\frac94=\frac34$ で、虚部が正という条件から $\displaystyle y=\frac{\sqrt3}{2}$。このとき $q=\overline\alpha$ だから $$\displaystyle p=-\frac32+\frac{\sqrt3}{2}i,\qquad q=\frac{\sqrt3-i}{2}.$$

(3)

$\displaystyle \arg q=\frac{\pi}{3}$, $|q|=1$ より $$\displaystyle q=\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i.$$ 直接計算すると $$\alpha q=i,\qquad \overline\alpha q=\alpha.$$ したがって $|p+\alpha q|=1$ は $|p+i|=1$ であり、点 $p$ は中心 $-i$、半径 $1$ の円を描く。

最後の条件を満たす $p=x+iy$ は $$\displaystyle x^2+(y+1)^2=1,\qquad \left(x+\frac{\sqrt3}{2}\right)^2+ \left(y+\frac12\right)^2=1,\qquad x^2+y^2=3$$ を満たす。第1式と第3式の差から $2y+1=1-3=-2$、よって $\displaystyle y=-\frac32$。第2式を展開すると $$x^2+y^2+\sqrt3x+y=0.$$ $\displaystyle x^2+y^2=3,\ y=-\frac32$ を代入して $\displaystyle x=-\frac{\sqrt3}{2}$。従って $$\displaystyle p=-\frac{\sqrt3}{2}-\frac32i.$$

使用解法

複素数の二次方程式、直交形式での絶対値計算、二次式の平方完成と最大値、実部・虚部を用いた円の交点計算を用いた。