1広島大学 2004年 数学 第1問解答・解説

$z=x+iy$ とおく。絶対値は非負なので、各不等式を両辺平方しても同値である。まず $$4\{(x-2)^2+y^2\}\leq (x-5)^2+y^2$$ を整理すると $$x^2-2x+y^2\leq3,\qquad (x-1)^2+y^2\leq4$$ を得る。したがって第1の不等式は、中心 $(1,0)$、半径 $2$ の円の内部および周を表す。次に $$(x-5)^2+y^2\leq(x+1)^2+y^2$$ を整理すると $x\geq2$ となる。よって、$D$ は次の二つの不等式を満たす点 $z=x+iy$ 全体である。 $$(x-1)^2+y^2\leq4,\qquad x\geq2.$$ すなわち中心 $(1,0)$、半径 $2$ の円を直線 $x=2$ で切り、右側を含む円弧と線分で囲んだ部分を図示すればよい。弦の端点は $(2,\sqrt3)$, $(2,-\sqrt3)$、右端は $(3,0)$ である。

$D$ 上では $2\leq x\leq3$ であり、$z\neq0$ だから $\tan\theta=y/x$ が定義される。円の条件から $$y^2\leq4-(x-1)^2=-x^2+2x+3$$ なので $$\displaystyle (\tan\theta)^2=\frac{y^2}{x^2}\leq -1+\frac2x+\frac3{x^2}\leq\frac34.$$ 最後の式は $x\geq2$ で右辺の各分数項が $x$ とともに減少することを用いた。従って $-\sqrt3/2\leq\tan\theta\leq\sqrt3/2$。さらに $(2,y)$ は $-\sqrt3\leq y\leq\sqrt3$ の全てで $D$ に属し、そのとき $\tan\theta=y/2$ はこの区間の全ての値をとる。よって範囲は $$\displaystyle -\frac{\sqrt3}{2}\leq\tan\theta\leq\frac{\sqrt3}{2}$$ である。

面積は半径 $2$ の円の、弦 $x=2$ の右側の弓形の面積である。中心から弦までの距離は $1$、弦の半分の長さは $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$ なので、中心角は $2\pi/3$ である。扇形の面積は $$\displaystyle \frac12\cdot2^2\cdot\frac{2\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}$$ であり、中心と弦の両端を結ぶ三角形の面積は $$\displaystyle \frac12\cdot2\sqrt3\cdot1=\sqrt3.$$ したがって $$\displaystyle \operatorname{Area}(D)=\frac{4\pi}{3}-\sqrt3.$$