5広島大学 2004年 数学 第5問解答・解説

表を H、裏を T と書き、H のときの移動を +2、T のときの移動を -1 とする。目盛りは 5 を法として考える。　 (1) 2 回の投げ方と到着目盛りは、$HH:4,\ HT:1,\ TH:1,\ TT:3$ である。4 通りは同様に確からしいから、$$\displaystyle p_2(1)=\frac{2}{4}=\frac12.$$ 3 回では、$$\begin{array}{c|cccccccc}\text{投げ方}&HHH&HHT&HTH&HTT&THH&THT&TTH&TTT\\\hline\text{目盛り}&1&3&3&0&3&0&0&2\end{array}$$したがって、$$\displaystyle p_3(2)=\frac18,\qquad p_3(3)=\frac38.$$ 　 (2) 4 回中に表が h 回出たとき、移動量は $2h-(4-h)=3h-4$ だから、最後に目盛り 2 にいる条件は$$3h-4\equiv 2\pmod 5,$$すなわち $h=2$ である。表が 2 回の 6 通りのうち、最初が表の 3 通りは1回目に目盛り2へ着いてしまう。最初が裏の残り3通り $THHT,THTH,TTHH$ の目盛りの推移はそれぞれ $(4,1,3,2),(4,1,0,2),(4,3,0,2)$ であり、いずれも4回目に初めて目盛り2に着く。よって求める確率は$$\displaystyle \frac{3}{2^4}=\frac{3}{16}.$$ 　 (3) 目盛り0に着く直前の位置は、表で2目盛り進む場合には3、裏で1目盛り戻る場合には1である。各投げ方の確率は $1/2$ なので$$\displaystyle p_{n+1}(0)=\frac12p_n(3)+\frac12p_n(1)=\frac12\{p_n(3)+p_n(1)\}.$$ 　 (4) 目盛りを添字として5を法とする。1回の移動から、各 $i=0,1,2,3,4$ について$$\displaystyle p_{n+1}(i)=\frac12\{p_n(i-2)+p_n(i+1)\},$$となる。ここで添字は5を法として読む。$\displaystyle S_n=\sum\limits _{i=0}^4p_n(i)z^i$ とおくと、$z^5=1$ より添字を巡回させても対応する冪は変わらないので$$\displaystyle \begin{aligned}S_{n+1}&=\frac12\left(\sum\limits _{i=0}^4p_n(i-2)z^i+\sum\limits _{i=0}^4p_n(i+1)z^i\right)\\&=\frac12(z^2+z^{-1})S_n.\end{aligned}$$投げる前は $p_0(0)=1$、他の $p_0(i)=0$ と置けば $S_0=1$。この漸化式を繰り返すと $S_n=2^{-n}(z^2+z^{-1})^n$ を得る。これは求める式である。