3広島大学 2004年 数学 第3問解答・解説

Y=2X-E なので、XY=O に代入すると $$2X^2-X=O$$ を得る。$s=2a+2d-1$ とおいて行列を直接計算すると $$2X^2-X= \begin{pmatrix} 2a^2-a+2bc & bs\\ cs & 2d^2-d+2bc \end{pmatrix}=O.$$ 対角成分の差は $(a-d)s=0$ である。

(1)　 X が逆行列をもつ場合を考える。 もし $s=0$ なら $\displaystyle d=\frac12-a$ であり、左上の成分の式から $$\displaystyle bc=\frac a2-a^2=a\left(\frac12-a\right)=ad$$ となる。したがって $X$ は逆行列をもたない。実際、$(a,b)\ne(0,0)$ なら非零ベクトル $(-b,a)^T$ が $X$ によって零ベクトルに移る。$(a,b)=(0,0)$ で $X\ne O$ なら、非零ベクトル $(d,-c)^T$ が同じく零ベクトルに移る。$X=O$ の場合も逆行列はない。いずれも仮定に反するから $s\ne0$ である。

$bs=cs=0$ より $b=c=0$、また $(a-d)s=0$ より $a=d$ である。左上の成分の式は $a(2a-1)=0$ となる。逆行列をもつため $a\ne0$ なので $\displaystyle a=d=\frac12$。よって $$\displaystyle \boxed{X=\frac12E,\qquad Y=2X-E=O}.$$

(2)　 X が逆行列をもたない場合を考える。 $s=0$ なら直ちに $sX=O$ である。$s\ne0$ なら $bs=cs=0$ と $(a-d)s=0$ から $b=c=0$、$a=d$ を得る。従って $X=aE$ であり、逆行列をもたないことから $a=0$、すなわち $X=O$ である。この場合も $sX=O$ である。以上より $$\boxed{(2a+2d-1)X=O}.$$

(3)　 X$\ne$ O かつ逆行列をもたないので、(2)より s=0. 従って $\displaystyle d=\frac12-a$ である。左上成分の式は $$2a^2-a+2bc=0$$ となる。条件 $\displaystyle bc\le\frac1{16}$ より $q=\sqrt{1-16bc}$ は実数であり、この二次方程式の解は $$\displaystyle a=\frac{1\pm q}{4},\qquad d=\frac{1\mp q}{4}.$$ すなわち $$\displaystyle \boxed{(a,d)=\left(\frac{1+\sqrt{1-16bc}}4,\frac{1-\sqrt{1-16bc}}4\right) \text{ または } \left(\frac{1-\sqrt{1-16bc}}4,\frac{1+\sqrt{1-16bc}}4\right)}.$$ これらは $\displaystyle a+d=\frac12$、$ad=bc$ を満たすので、行列方程式の各成分式もすべて成り立つ。また $\displaystyle a+d=\frac12\ne0$ だから $X\ne O$ であり、逆行列をもたない。したがって、条件を満たす値はこの二通りで尽くされる。