4筑波大学 2004年 数学 第4問解答・解説

行列の積を成分ごとに計算すると $$X^2+aX+bE= \begin{pmatrix} x^2+yz+ax+b & y(x+w+a)\\ z(x+w+a) & w^2+yz+aw+b \end{pmatrix}=O.$$ 従って $$x^2+yz+ax+b=0,\quad y(x+w+a)=0,\quad z(x+w+a)=0,\quad w^2+yz+aw+b=0$$ を得る。

(1) $x+w\ne-a$ なので $x+w+a\ne0$。非対角成分の式から $y=z=0$ となる。対角成分から $$x^2+ax+b=0,\qquad w^2+aw+b=0.$$ 二式の差をとると $$(x-w)(x+w+a)=0.$$ 仮定より第2因子は0でないため $x=w$。従って $X=xE$ であり、最初の対角式から $x^2+ax+b=0$。さらに $$a^2-4b=(2x+a)^2=(x+w+a)^2>0,$$ 最後の不等号は仮定による。二次方程式の解の公式から $$\displaystyle x=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-4b}}2.$$ したがって $$\displaystyle X=\frac{-a+\sqrt{a^2-4b}}2E\quad\text{または}\quad X=\frac{-a-\sqrt{a^2-4b}}2E.$$

(2) $\tau=x+w+a$ とおく。$\tau\ne0$ なら非対角成分の式から $y=z=0$ なので $yz=0\le0$。$\tau=0$ なら $a=-(x+w)$。左上成分の式より $$yz=-x^2-ax-b=xw-b.$$ これを判別式に代入すると $$a^2-4b=(x+w)^2-4b=(x-w)^2+4(xw-b)=(x-w)^2+4yz.$$ 仮定 $a^2-4b\le0$ と $(x-w)^2\ge0$ から $$4yz=(a^2-4b)-(x-w)^2\le0,$$ よって $yz\le0$。