5筑波大学 2004年 数学 第5問解答・解説

楕円の条件を距離の2乗に代入すると、 $$\displaystyle x^2+(y+1)^2=3(1-y^2)+(y+1)^2=4+2y-2y^2 =\frac92-2\left(y-\frac12\right)^2\leq\frac92.$$ 平方完成により距離の最大値が得られ、等号は y=1/2 のときに成立する。このとき楕円上かつ x が非負である点と距離は $$\displaystyle P=\left(\frac32,\frac12\right),\qquad AP=\sqrt{\frac92}=\frac3{\sqrt2}.$$ これで(1)を得る。

次に点 Q の座標を (u,v) とおく。直線 AP の方程式は $$y=x-1.$$ 点Qからこの直線への距離を高さとして面積を表すと $$\displaystyle [\triangle APQ] =\frac12\cdot\frac3{\sqrt2}\cdot\frac{|u-v-1|}{\sqrt2} =\frac34|1+v-u|.$$ 恒等式 $4(u^2/3+v^2)-(v-u)^2=(u+3v)^2/3\ge0$ と楕円の条件から $$\displaystyle |v-u|=\left|(-\sqrt3,1)\cdot\left(\frac{u}{\sqrt3},v\right)\right| \leq 2\sqrt{\frac{u^2}{3}+v^2}=2.$$ よって面積の式に現れる絶対値は3以下であり、上限に等号が成り立つのは v-u=2 のときである。この条件と楕円の式を連立すると $$\displaystyle v-u=2,\qquad \frac{u^2}{3}+v^2=1 \quad\text{ならば}\quad u=v-2,\qquad \frac{(v-2)^2}{3}+v^2=1 \quad\text{ならば}\quad (2v-1)^2=0 \quad\text{ならば}\quad (u,v)=\left(-\frac32,\frac12\right).$$ したがって最大面積は $$\displaystyle [\triangle APQ]_{\max}=\frac34\cdot3=\frac94.$$ 以上で(2)を得る。