1福井大学 2019年 数学 第1問解答・解説

$z=x+iy$ とおくと、$(1-2i)z+(1+2i)\overline z=2x+4y$。よって与式は $$(x-1)^2+(y-2)^2=4$$ となり、中心 $(1,2)$、半径 $2$ の円を表す。

(1) 実軸となす角が $\pi/4$ である直線の傾きは $\pm1$。$(4,5)$ を通り、実軸との交点の実部が $4$ より大きいので、傾きは $-1$ である。直線は $y=9-x$、したがって $\boxed{\alpha=9}$。

(2) 円上では $$x+y=3+(x-1)+(y-2)\le3+\sqrt2\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}=3+2\sqrt2<9.$$ 点と直線の距離 $(9-x-y)/\sqrt2$ が最小になるのは $x+y$ が最大のとき。不等式の等号は $x-1=y-2=\sqrt2$ で成立するので $$\boxed{z=(1+\sqrt2)+(2+\sqrt2)i}.$$

(3) 円上の整数座標点は $(-1,2),(3,2),(1,0),(1,4)$ の4点。表でも裏でも1回投げると $x+y$ は $1$ 増えるので、4回後に直線 $x+y=9$ に達する条件は、出発点の座標和が $5$ であること。この条件を満たすのは $(3,2),(1,4)$ の2点である。出発点は等確率で選ぶから、求める確率は $$\boxed{2/4=1/2}.$$ 硬貨の表の確率 $p$ によらない。