1大阪大学 2022年 数学 第1問解答・解説

$w=1$ とすると元の式 $z+w=zw$ は矛盾するので、$w\ne1$ である。したがって $$\displaystyle z=\frac{w}{w-1}.$$ $z$ が中心 $\displaystyle \frac32$、半径 $r$ の円周上にある条件に代入すると $$\displaystyle \left|\frac{w}{w-1}-\frac32\right| =\left|\frac{3-w}{2(w-1)}\right| =r,$$ すなわち $$|w-3|=2r|w-1|. \tag{1}$$ 変形は $w\ne1$ のもとで同値であり、(1)を満たす $w$ から $z=w/(w-1)$ を定めれば元の条件も満たす。したがって(1)は軌跡の必要十分条件である。

$\displaystyle r=\frac12$ のとき、$w=x+iy$ とすると $$(x-3)^2+y^2=(x-1)^2+y^2,$$ ゆえに $x=2$。軌跡は直線 $\operatorname{Re}(w)=2$ である。

$\displaystyle r\ne\frac12$ のとき、(1)を2乗して整理すると $$(1-4r^2)(x^2+y^2)+(8r^2-6)x+9-4r^2=0.$$ 平方完成して $$\displaystyle \left(x-\frac{3-4r^2}{1-4r^2}\right)^2+y^2 =\left(\frac{4r}{1-4r^2}\right)^2.$$ よって軌跡は中心 $\displaystyle \left(\frac{3-4r^2}{1-4r^2},0\right)$、半径 $\displaystyle \frac{4r}{|1-4r^2|}$ の円周である。

与式からzをwで表し、円周の条件をwの絶対値の式へ移す。r=1/2は直線となり、それ以外は平方完成した円となる。