3大阪大学 2022年 数学 第3問解答・解説

線分 $PQ$ 上の点 $(x,y)$ は、$1\le t\le2$ を満たすある $t$ に対し $$\displaystyle y=t-t^2x,\qquad 0\le x\le\frac1t$$ を満たす。したがって $0\le x\le1$。固定した $x>0$ に対し、許される $t$ の範囲は $\displaystyle 1\le t\le\min(2,1/x)$ である。高さを $h(t)=t-xt^2$ とすると $h'(t)=1-2xt$, $h''(t)=-2x\le0$ なので、最大値は端点または頂点、最小値は端点で得られる。

$0\le x\le1/4$ では $h$ は $1\le t\le2$ で増加するから、最小値は $1-x$、最大値は $2-4x$。$1/4\le x\le1/2$ では頂点 $t=1/(2x)$ が区間内にあり、最大値は $1/(4x)$。最小値は端点の値 $1-x$ と $2-4x$ の小さい方で、境目は $x=1/3$。$1/2\le x\le1$ では許される範囲は $1\le t\le1/x$ で $h$ は減少するため、最大値は $1-x$、最小値は $0$ となる。連続性より、各 $x$ で上下境界の間の全ての点が通過領域に含まれる。

したがって $0\le x\le1$ における上下境界は $$\begin{array}{c|c|c} x\text{ の範囲}&\text{下側}&\text{上側}\\\hline 0\le x\le1/4&1-x&2-4x\\ 1/4\le x\le1/3&1-x&1/(4x)\\ 1/3\le x\le1/2&2-4x&1/(4x)\\ 1/2\le x\le1&0&1-x \end{array}$$ である。境界には $y=1-x$, $y=2-4x$, 包絡線 $y=1/(4x)$、$x$ 軸の該当部分を用い、その間を塗る。

線分上をy=t−t²xで表し、固定したxで許されるt区間を求める。h(t)=t−xt²の頂点と端点の値を比べれば上下境界が得られる。上側は2−4x、1/(4x)、1−xとつながり、下側は1−x、2−4x、0とつながる。