2秋田大学 2021年 数学 第2問解答・解説

(i) $A=(a,a^2-1)$ なので、距離の二乗は $a^2+(a^2-1)^2$ である。$u=a^2>0$ とおくと、$\displaystyle d^2=u^2-u+1=(u-\frac12)^2+\frac34$。最小値は $\displaystyle u=\frac12$ のときに得られる。$a>0$ より $a=1/\sqrt2$、そのとき $d=\sqrt{3/4}=\sqrt3/2$。

(ii) $f'(a)=2a$ より、点 $A(a,a^2-1)$ における接線は $y-(a^2-1)=2a(x-a)$、すなわち $y=2ax-a^2-1$。$a\ne0$ のとき $y=0$ とおけば、交点の $x$ 座標は $(a^2+1)/(2a)$。

(iii) $a=2$ では $A=(2,3)$、接線は $y=4x-5$ であり、$x$ 軸との交点は $x=5/4$。曲線と $x$ 軸はこの領域で $x=1$ で交わり、曲線と接線は $x=2$ で接する。また $f(x)-(4x-5)=(x-2)^2\ge0$。したがって囲まれた面積は $\displaystyle S=\int_1^{5/4}(x^2-1)\,dx+\int_{5/4}^2(x-2)^2\,dx=\frac{13}{192}+\frac{27}{192}=\frac5{24}$。