1香川大学 2011年 数学 第1問解答・解説

2つの放物線の差を $$g(x)=(-3x^2+2px+q)-x^2=-4x^2+2px+q$$ とおく。点P(a,b)が$C_2$上にあるから、q=b+3a^2-2apである。したがって $$\displaystyle g(x)=-4\left(x-\frac p4\right)^2+\left(\frac p2-2a\right)^2+b-a^2.$$ ここで $b-a^2>0$ なので、$\displaystyle D=\left(\frac p2-2a\right)^2+b-a^2>0$ とおけば、交点のx座標は $$\displaystyle \alpha=\frac p4-\frac{\sqrt D}{2},\qquad \beta=\frac p4+\frac{\sqrt D}{2}$$ である。$\alpha<x<\beta$ では $g(x)>0$ だから、囲まれた面積は次のようになる。 $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_\alpha^\beta g(x)\,dx =\int_{-\sqrt D/2}^{\sqrt D/2}(D-4u^2)\,du\\ &=\frac23D^{3/2} =\frac23\left\{\left(\frac p2-2a\right)^2+b-a^2\right\}^{3/2}. \end{aligned}$$ よって1の答えを得る。

次に、$b-a^2>0$ より $$\displaystyle D=\frac14(p-4a)^2+b-a^2\ge b-a^2,$$ 等号は $p=4a$ のときに限る。したがって $$\displaystyle p=4a,\qquad S_{\min}=\frac23(b-a^2)^{3/2}.$$

このとき $\displaystyle \alpha=a-\frac12\sqrt{b-a^2}$、$\displaystyle \beta=a+\frac12\sqrt{b-a^2}$ である。線分ABの中点Mの座標は $$\displaystyle \begin{aligned} x_M&=\frac{\alpha+\beta}{2}=a,\\ y_M&=\frac{\alpha^2+\beta^2}{2}=a^2+\frac14(b-a^2). \end{aligned}$$ PとMは同じx座標をもち、$\displaystyle b-y_M=\frac34(b-a^2)>0$ だから、 $$\displaystyle PM=b-y_M=\frac34(b-a^2).$$

最後に、$C_2$ の式を $f(x)=-3x^2+2px+q$ とすると、p=4aのときPにおける接線の傾きは $$f'(a)=-6a+2p=2a.$$ 一方、ABの傾きは $$\displaystyle \frac{\beta^2-\alpha^2}{\beta-\alpha}=\alpha+\beta=\frac p2=2a.$$ また、直線AB上でx=aとなる点は中点Mであり、$\displaystyle y_M=b-\frac34(b-a^2)<b$ なのでPはAB上にない。したがって接線$\ell$とABは異なる平行な直線である。