2香川大学 2011年 数学 第2問解答・解説

1. u_n=x_n+y_n, v_n=x_n-y_n とおく。座標の漸化式から $$\displaystyle u_n=2u_{n-1},\qquad v_n=\frac12v_{n-1}\quad(n\ge2),\qquad u_1=v_1=1.$$ したがって $$\displaystyle u_n=2^{n-1},\qquad v_n=2^{-(n-1)},\qquad x_n=\frac{u_n+v_n}{2},\quad y_n=\frac{u_n-v_n}{2}.$$ よって $$x_n^2-y_n^2=(x_n+y_n)(x_n-y_n)=u_nv_n=1.$$ また、$2^{n-1}+2^{-(n-1)}\ge2$ より $x_n\ge1$ である。 $$\begin{aligned} (P_nF)^2&=(x_n-\sqrt2)^2+y_n^2\\ &=x_n^2+y_n^2+2-2\sqrt2x_n\\ &=2x_n^2+1-2\sqrt2x_n=(\sqrt2x_n-1)^2,\\[2mm] (P_nF')^2&=(x_n+\sqrt2)^2+y_n^2\\ &=x_n^2+y_n^2+2+2\sqrt2x_n\\ &=2x_n^2+1+2\sqrt2x_n=(\sqrt2x_n+1)^2. \end{aligned}$$ $x_n\ge1$ なので $\sqrt2x_n-1>0$。距離は正であるから $$P_nF=\sqrt2x_n-1,\qquad P_nF'=\sqrt2x_n+1.$$ したがって $P_nF'-P_nF=2$（問題文の順に引けば $P_nF-P_nF'=-2$）。

2. すべての点は $x_n^2-y_n^2=1$ を満たすので、この双曲線上にある。方程式の一意性も確認する。$u=x+y,\ v=x-y$ とし、一般の二次式を $$Q(x,y)=\alpha u^2+\beta uv+\gamma v^2+\delta u+\varepsilon v+\zeta$$ と表す。$k=n-1$ とすると、$P_n$ では $u=2^k,\ v=2^{-k}$ であり、$Q(x_n,y_n)=0$ は $$\alpha 4^k+(\beta+\zeta)+\gamma4^{-k}+\delta2^k+\varepsilon2^{-k}=0\quad(k=0,1,2,\ldots)$$ となる。両辺に $4^k$ を掛け、$t=2^k$ とおくと $$\alpha t^4+\delta t^3+(\beta+\zeta)t^2+\varepsilon t+\gamma=0.$$ これは無限個の異なる $t$ で成り立つので、この多項式の各係数は0である。したがって $\alpha=\gamma=\delta=\varepsilon=0,\ \zeta=-\beta$ となる。二次曲線では $\beta\ne0$ だから、方程式は定数倍を除いて $uv=1$、すなわち $$C:\ (x+y)(x-y)=1,\qquad \boxed{x^2-y^2=1}.$$