3香川大学 2011年 数学 第3問解答・解説

・ 部分積分により $$I=-e^{-x}\sin x+J,\qquad J=-e^{-x}\cos x-I$$ を得る。二式から $$2I=-e^{-x}(\sin x+\cos x)+C$$ となるので、 $$\displaystyle I=-\frac12e^{-x}(\sin x+\cos x)+C.$$

・ $[2n\pi,(2n+1)\pi]$ では $\sin x\geq0$ である。原始関数 $$\displaystyle F(x)=-\frac12e^{-x}(\sin x+\cos x)$$ を用いると、 $$\displaystyle \begin{aligned} S_{2n}&=F((2n+1)\pi)-F(2n\pi)\\ &=\frac12e^{-(2n+1)\pi}+\frac12e^{-2n\pi}\\ &=\frac12(1+e^{-\pi})e^{-2n\pi}. \end{aligned}$$

・ $[(2n+1)\pi,2(n+1)\pi]$ では $\sin x\leq0$ であるから、面積は $-e^{-x}\sin x$ の積分となる。 $$\displaystyle \begin{aligned} S_{2n+1}&=F((2n+1)\pi)-F(2(n+1)\pi)\\ &=\frac12e^{-(2n+1)\pi}+\frac12e^{-2(n+1)\pi}\\ &=\frac12(1+e^{-\pi})e^{-(2n+1)\pi}. \end{aligned}$$

・ (2),(3) より、すべての $k\geq0$ について $$\displaystyle S_k=\frac12(1+e^{-\pi})e^{-k\pi}$$ である。$0<e^{-\pi}<1$ なので、これは収束する無限等比級数であり、 $$\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{k=0}^{\infty}S_k &=\frac12(1+e^{-\pi})\frac{1}{1-e^{-\pi}}\\ &=\frac{1+e^{-\pi}}{2(1-e^{-\pi})} =\frac{e^{\pi}+1}{2(e^{\pi}-1)}. \end{aligned}$$