7長崎大学 2020年 数学 第7問解答・解説

(1) 交点の方程式は $$a_n\sin 2x=a_{n+1}\cos x \quad\text{すなわち}\quad \cos x\,(2a_n\sin x-a_{n+1})=0$$ である。区間 $0\le x\le\pi/2$ において $x=\pi/2$ は $x$ 軸上の交点であり、$x=0$ は交点ではない。 したがって、$x$ 軸上にない交点 $x=p_n$ では $0<p_n<\pi/2$ であり、$\cos p_n>0$ より $$\displaystyle \sin p_n=\frac{a_{n+1}}{2a_n}.$$ $0<a_{n+1}\le a_n$ から $0<\sin p_n\le1/2$ である。 $\sin x$ は $0\le x\le\pi/2$ で増加するので、 $$\displaystyle 0<p_n\le\frac{\pi}{6}.$$

(2) $0\le x\le\pi/2$ で $a_n\sin2x\ge0$ だから、 $$\displaystyle S_n=\int_0^{\pi/2}a_n\sin2x\,dx =\left[-\frac{a_n}{2}\cos2x\right]_0^{\pi/2}=a_n.$$ また、$p_n\le x\le\pi/2$ では $$a_n\sin2x-a_{n+1}\cos x =\cos x\,(2a_n\sin x-a_{n+1})\ge0$$ である。よって $C_n$ が $D_n$ の上側にあり、 $$\displaystyle \begin{aligned} T_n &=\int_{p_n}^{\pi/2}(a_n\sin2x-a_{n+1}\cos x)\,dx\\ &=\left[-\frac{a_n}{2}\cos2x-a_{n+1}\sin x\right]_{p_n}^{\pi/2}\\ &=\frac{a_n}{2}-a_{n+1}+\frac{a_n}{2}\cos2p_n+a_{n+1}\sin p_n. \end{aligned}$$ ここに $\cos2p_n=1-2\sin^2p_n$ と $\sin p_n=a_{n+1}/(2a_n)$ を代入すると、 $$\displaystyle \begin{aligned} T_n &=a_n-a_{n+1}-a_n\left(\frac{a_{n+1}}{2a_n}\right)^2 +a_{n+1}\frac{a_{n+1}}{2a_n}\\ &=a_n-a_{n+1}+\frac{a_{n+1}^2}{4a_n}. \end{aligned}$$

(3) $q_n=a_{n+1}/a_n$ とおく。仮定から $0<q_n\le1$ であり、(2)より $$\displaystyle \frac{T_n}{S_n}=1-q_n+\frac{q_n^2}{4} =\left(1-\frac{q_n}{2}\right)^2.$$ $T_n=r^2S_n$ と $r>0$、$1-q_n/2\ge1/2>0$ より、 $$\displaystyle r=1-\frac{q_n}{2},\qquad q_n=2(1-r).$$ したがって公比は $n$ によらず一定である。$a_1=1$ なので、 $$a_n=\{2(1-r)\}^{n-1}.$$ 元の数列の条件 $0<q_n\le1$ は $$\displaystyle 0<2(1-r)\le1 \quad\text{すなわち}\quad \frac12\le r<1$$ となる。逆に、この範囲の $r$ について上の一般項は元の数列の条件と面積条件を満たす。 $r=1/2$ では $a_n=1$ であり、数列は $1$ に収束する。 $1/2<r<1$ では公比が $0<2(1-r)<1$ だから、数列は $0$ に収束する。 よって、数列が収束する $r$ の範囲は $$\displaystyle \frac12\le r<1.$$

(4) (2)(3)より、$S_n=\{2(1-r)\}^{n-1}$ である。 許される範囲 $1/2\le r<1$ では公比は正である。 $r=1/2$ のとき $S_n=1$ なので部分和は $N$ となり、無限級数は発散する。 $1/2<r<1$ のとき $q=2(1-r)$ は $0<q<1$ を満たし、 $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{N}S_n=\frac{1-q^N}{1-q} \longrightarrow\frac{1}{1-q}=\frac{1}{2r-1}.$$ したがって、収束する範囲とそのときの和は $$\displaystyle \frac12<r<1,\qquad \sum\limits _{n=1}^{\infty}S_n=\frac{1}{2r-1}.$$

交点・曲線の上下関係を三角関数で求め、積分で面積を計算する。面積比条件から数列を等比数列と定め、数列と級数の収束を調べる。