2神戸大学 2022年 数学 第2問解答・解説

$\alpha=\theta/2=\pi/m$とおく。正$m$角形の中心から辺までの距離は、半角$\alpha$の直角三角形より$r_n\cos\alpha$。従って $$r_{n+1}=r_n\cos\alpha,\quad r_1=1,\quad r_n=\cos^{n−1}\alpha.$$ 正$m$角形の面積は$(m/2)r_n^2\sin\theta$。円との差は $$\displaystyle s_n=r_n^2\left(\pi−\frac m2\sin\theta\right)=\frac{\pi(\theta−\sin\theta)}{\theta}\cos^{2n−2}\alpha.$$ $m\ge3$だから$0<\cos^2\alpha<1$。等比級数を足すと $$\displaystyle f(m)=\sum\limits _{n=1}^\infty s_n=\frac{\pi(\theta−\sin\theta)}{\theta(1−\cos^2\alpha)}=\frac{\pi(\theta−\sin\theta)}{\theta\sin^2(\theta/2)}.$$ $m\to\infty$で$\theta\to0+$。従って $$\displaystyle f(m)=\pi\frac{(\theta−\sin\theta)/\theta^3}{(\sin(\theta/2)/\theta)^2}\longrightarrow \pi\frac{1/6}{(1/2)^2}=\frac{2\pi}{3},$$ 問題文で与えられた極限と$\sin x/x\to1$を用いた。