3神戸大学 2022年 数学 第3問解答・解説

（1）

$\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x}{1+x^2}-2ax=\dfrac{2x\{1-a(1+x^2)\}}{1+x^2}$ である。$\displaystyle r=\sqrt{\dfrac{1-a}{a}}$ とおくと、$f'(x)=0$ となるのは $x=-r,0,r$ である。

$1+x^2>0$ なので、$f'(x)$ の符号は $x\{1-a(1+x^2)\}$ の符号と同じである。よって、$x<-r$ で正、$-r<x<0$ で負、$0<x<r$ で正、$x>r$ で負となる。したがって、$x=0$ で極小、$x=\pm r$ で極大となる。

$\displaystyle f(0)=0,\qquad f(\pm r)=\log\left(1+\dfrac{1-a}{a}\right)-a\dfrac{1-a}{a}=-\log a-(1-a)$ であるから、極小値は $0$、極大値は $-\log a-1+a$ である。なお、$|x|\to\infty$ で $f(x)\to-\infty$ なので、実数全体での最小値はない。

（2）

$f(1)=0$ より $a=\log 2$ である。$t=x^2$ とし、$h(t)=\log(1+t)-t\log 2$ とおくと、$f(x)=h(x^2)$ である。$h(0)=h(1)=0$ かつ $\displaystyle h''(t)=-\dfrac{1}{(1+t)^2}<0$ なので、$0<t<1$ では $h(t)>0$ となる。

$t\geq1$ では $\displaystyle h'(t)=\dfrac{1}{1+t}-\log 2\leq\dfrac12-\log 2<0$ である（$\displaystyle \log 2=\int_1^2\dfrac{du}{u}>\dfrac12$）。したがって $t>1$ では $h(t)<0$ である。ゆえに、曲線と $x$ 軸が囲むのは $-1\le x\le0$ と $0\le x\le1$ に対応する二つの部分である。$f$ は偶関数なので、面積の合計 $S$ は $$\displaystyle S=2\int_0^1\{\log(1+x^2)-x^2\log 2\}\,dx.$$ 部分積分により $\displaystyle \int\log(1+x^2)\,dx=x\log(1+x^2)-2x+2\arctan x$ であるから、 $$\displaystyle S=2\left\{\left(\log 2-2+\dfrac{\pi}{2}\right)-\dfrac{\log 2}{3}\right\}=\pi-4+\dfrac{4}{3}\log 2.$$