3北海道大学 2022年 数学 第3問解答・解説

解答 (1) $x\ge2$ より $\ln x>0$ だから $$\displaystyle 2^x\le x^y\le x^2 \text{すなわち} x\ln2\le y\ln x\le2\ln x \text{すなわち} g(x):=\frac{x\ln2}{\ln x}\le y\le2.$$ 微分すると $$\displaystyle g'(x)=\ln2\,\frac{\ln x-1}{(\ln x)^2}.$$ よって $g$ は $2<x<e$ で減少し、$x>e$ で増加する。$2<e<3<4$、$g(2)=g(4)=2$ だから、$2<x<4$ では $g(x)<2$、$x>4$ では $g(x)>2$ である。したがって求める領域は $$\boxed{2\le x\le4,\quad g(x)\le y\le2}.$$

上端は $y=2$、下端は $y=g(x)$ であり、両者は $(2,2),(4,2)$ で交わる。下端は $x=e$ で最小値 $e\ln2$ をとる。

(2) $2\le x\le6$ では $x^y$ は $y$ の増加関数であり、 $x^y=2^x$ と $x^y=x^a$ はそれぞれ $y=g(x)$、$y=a$ と同値である。よって各 $x$ で許される $y$ は両者の間にあり、縦の長さは $|a-g(x)|$ となる。したがって $$\displaystyle S(a)=\int_2^6|a-g(x)|\,dx.$$ 上で示した増減と $g(2)=g(4)=2$ より、$g(x)<2$ となる範囲は $2<x<4$、$g(x)>2$ となる範囲は $4<x\le6$ で、どちらの長さも $2$ である。$u<2$ なら $$|a-u|\ge |2-u|+(a-2),$$ $u>2$ なら $$|a-u|\ge |2-u|-(a-2)$$ だから、$u=g(x)$ として積分すると $$S(a)-S(2)\ge2(a-2)-2(a-2)=0.$$ これで $a=2$ が最小値を与える。さらに、$a>2$ なら $g(4)=2$ と $g(x)>2\ (x>4)$ および $g$ の連続性から、$4$ のすぐ右に $0<g(x)-2<a-2$ を満たす正の長さの区間がある。この区間では $u>2$ の不等式が真に厳しくなる。$0<a<2$ のときも、$4$ のすぐ左に $0<2-g(x)<2-a$ を満たす正の長さの区間があり、$u<2$ の不等式が真に厳しくなる。ゆえに $a\ne2$ では $S(a)>S(2)$ であり、最小にする値は $$\boxed{a=2}$$ のみである。