1名古屋大学 2026年 数学 第1問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1) }OA,OB\text{ の方程式はそれぞれ }y=\frac{x}{a^2},\ y=\frac{x}{b^2}.\ 0<a<b\text{ なので }OA\text{ の傾きの方が大きい。}\ 0\le x\le a\text{ では2直線にはさまれ、}a\le x\le b\text{ では曲線と }OB\text{ にはさまれるから}\ S=\int_0^a\left(\frac{x}{a^2}-\frac{x}{b^2}\right)dx+\int_a^b\left(\frac1x-\frac{x}{b^2}\right)dx\ =\frac12\left(1-\frac{a^2}{b^2}\right)+\ln\frac ba-\frac12\left(1-\frac{a^2}{b^2}\right)=\ln\frac ba.\\[2mm] \text{(2) }OA,OB\text{ の正の }x\text{ 軸となす角を }\alpha,\beta\text{ とする。}\tan\alpha=\frac1{a^2},\ \tan\beta=\frac1{b^2},\ \theta=\alpha-\beta.\ \tan\theta=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}=\frac{b^2-a^2}{1+a^2b^2}.\ \theta=\frac\pi4\text{ より }b^2-a^2=1+a^2b^2,\text{ したがって }b^2=\frac{1+a^2}{1-a^2}.\ b>0\text{ だから }b=\sqrt{\frac{1+a^2}{1-a^2}}.\\[2mm] \text{(3) }t=a^2\ (0<t<1)\text{ とおくと、(1)(2)から}\ S=\frac12\ln\frac{1+t}{t(1-t)}.\ \ln x\text{ は増加関数なので }f(t)=\frac{1+t}{t(1-t)}\text{ を最小にすればよい。}\ \frac{1+t}{t(1-t)}-(3+2\sqrt2)=\frac{(3+2\sqrt2)(t-(\sqrt2-1))^2}{t(1-t)}\ge0.\ \text{分母は正であり、等号は }t=\sqrt2-1\text{ のときに限る。よって }a=\sqrt{\sqrt2-1},\quad S_{\min}=\ln(1+\sqrt2).$$