3名古屋大学 2026年 数学 第3問解答・解説

(1) $120=2^3\cdot3\cdot5$ である。条件(*)では、同じ素数が2つの数に含まれることはないので、素数冪 $8,3,5$ を3つの数に割り当てる。$a\le b\le c$ と並べた場合、割当ては素数冪の集合を高々3個の空でない集まりに分けることに対応する。可能な分け方をすべて挙げると $$\{8,3,5\},\quad \{8\},\{3,5\},\quad \{3\},\{8,5\},\quad \{5\},\{8,3\},\quad \{8\},\{3\},\{5\}$$ であり、対応する組は $$(1,1,120),\quad(1,8,15),\quad(1,3,40),\quad(1,5,24),\quad(3,5,8).$$ である。昇順に並べて答えると $$(1,1,120),\quad(1,3,40),\quad(1,5,24),\quad(1,8,15),\quad(3,5,8).$$ いずれも条件(*)を満たす。素因数の一意性により異なる分け方から同じ組は得られず、これらで尽くされる。

(2) $N!$ に現れる素数は、$N$ 以下の $m$ 個である。各素数 $p\le N$ の指数を $e_p$ とすると $$\displaystyle N!=\prod\limits _{p\le N}p^{e_p},\qquad e_p\ge1.$$ 条件(*)より、同じ素数を2つの因子に分けて含めることはできない。したがって、各素数冪 $p^{e_p}$ は $a,b,c$ のうちちょうど1つにまとめて入る。逆に、この割当てを行えば、積は $N!$ であり3数は互いに素となる。組は順序付きなので、各素数冪に対して3通りの選択が独立にあり、求める個数は $$3^m$$ である。

(3) $a\le b\le c$ を満たす組は、$m$ 個の素数冪を1個、2個または3個の空でない集まりに分けたものと一対一に対応する。各集まりに入った素数冪の積を作り、それらを小さい順に並べれば組が定まり、素因数分解の一意性により対応は一対一である。

1個の集まりに分ける方法は $1$ 通りである。2個の名前付き集まりに全ての素数冪を割り当て、両方を空でなくする方法は $2^m-2$ 通りである。集まりの名前を入れ替えた2通りが同じ分け方を表すので、2個に分ける方法は $$\displaystyle \frac{2^m-2}{2}=2^{m-1}-1$$ 通り。

3個の名前付き集まりに割り当てる方法は $3^m$ 通りある。指定した1個の集まりが空になる割当てが $2^m$ 通りなので、それを3通り分だけ引き、さらに2個の集まりが空になる重複を3通り足すと、3個すべてが空でない割当ては $$3^m-3\cdot2^m+3$$ 通りとなる。名前付き3集まりの順序 $3!=6$ 通りは同じ分け方を表すから、3個に分ける方法は $$\displaystyle \frac{3^m-3\cdot2^m+3}{6}$$ 通り。従って、求める個数は $$\displaystyle 1+(2^{m-1}-1)+\frac{3^m-3\cdot2^m+3}{6} =\frac{3^m+3}{6}.$$