2名古屋大学 2026年 数学 第2問解答・解説

平面 $H$ の方程式を $lx+my+nz=p$ とおく。点 $C(1,0,0)$ を代入すると $p=l$ である。さらに $A,B$ を代入して $$l+m+3n=0,\qquad (a+1)l+3m+4n=0$$ を得る。$l=0$ とするとこの2式から $m=n=0$ となり平面の方程式にならないので、$l\ne0$ である。$l=5$ とおけば $m=1-3a,\ n=a-2$ となる。したがって $$H:\quad 5x+(1-3a)y+(a-2)z=5.$$

直線 $DE$ を $P(t)=D+t(E-D)=(-1-2t,2-t,1-t)$ と表す。これを平面の式に代入すると $$5(-1-2t)+(1-3a)(2-t)+(a-2)(1-t)=5,$$ すなわち $$(2a-9)t=10+5a$$ を得る。

(1)　 $a=9/2$ なら左辺の係数は $0$ だが右辺は $65/2\ne0$ で、交点はない。$a\ne9/2$ ならこの一次方程式はただ1つの実数 $t$ をもつので直線 $DE$ と $H$ は共有点をもつ。したがって $a\ne9/2$。

(2)　 線分 $DE$ は $0\le t\le1$ に対応する。$F(x,y,z)=5x+(1-3a)y+(a-2)z-5$ とおくと $$F(D)=-10-5a=-5(a+2),\qquad F(E)=-19-3a=-(3a+19).$$ $F(P(t))=(1-t)F(D)+tF(E)$ は $t$ の一次式だから、$0\le t\le1$ で $F(P(t))=0$ となるのは端点での値が $0$ を含んで符号をまたぐ場合、すなわち $F(D)F(E)\le0$ のとき、かつそのときに限る。よって $$5(a+2)(3a+19)\le0,$$ これを解いて $-19/3\le a\le-2$ を得る。両端ではそれぞれ $E,D$ が平面上にあるので、等号を含む。