1筑波大学 2026年 数学 第1問解答・解説

(1) $AR:RC=(1-r):r$ なので、内分点の公式から $$\displaystyle R=\frac{rA+(1-r)C}{1}=(r,0,1-r).$$

(2) 平面 $PQR$ の方程式を $\alpha x+\beta y+\gamma z=\delta$ とおく。$P,Q$ を通るので $\alpha=\beta=3\delta$。また $R=(r,0,1-r)$ を通る条件から $$3\delta r+\gamma(1-r)=\delta.$$ 平面方程式は定数倍しても同じなので、$0<r<1$ を用いて $\delta=1-r$ と正規化すれば $\gamma=1-3r$ となり、平面の方程式は $$3(1-r)(x+y)+(1-3r)z=1-r.$$ 線分 $BC$ 上では $x=0,\ y+z=1$。これを代入すると $$3(1-r)(1-z)+(1-3r)z=1-r \quad\text{より}\quad z=1-r,\quad y=r.$$ よって $S=(0,r,1-r)$。

(3) $PQ$ を底辺とする。$PQ$ の長さは $\sqrt2/3$。$PQ$ を含む平面 $z=0$ への $S$ の正射影は $S'=(0,r,0)$ であり、直線 $PQ$ の方程式は $x+y=1/3$。従って $S'$ から $PQ$ までの距離は $$\displaystyle \frac{|r-1/3|}{\sqrt2}.$$ また $SS'=1-r$ で、これは平面 $z=0$ に垂直だから、三角形の高さ $h$ は $$\displaystyle h^2=(1-r)^2+\frac{(r-1/3)^2}{2}.$$ よって面積を $K(r)$ とすると $$\displaystyle K(r)^2=\frac14\left(\frac{\sqrt2}{3}\right)^2h^2 =\frac{27r^2-42r+19}{324} =\frac{27(r-7/9)^2+8/3}{324}.$$ $0<r<1$ の範囲内で $r=7/9$ のとき最小となる。その最小値は $$\displaystyle K_{\min}=\frac{\sqrt{8/3}}{18}=\frac{\sqrt6}{27}.$$