6筑波大学 2026年 数学 第6問解答・解説

(1) $\displaystyle A=\int_0^x e^t\cos t\,dt,\ B=\int_0^x e^t\sin t\,dt$ とおく。部分積分より $$A=e^x\cos x-1+B,\qquad B=e^x\sin x-A.$$ これを解いて $$\displaystyle A=\frac{e^x(\cos x+\sin x)-1}{2},\qquad B=\frac{e^x(\sin x-\cos x)+1}{2}.$$ (2) $\displaystyle I(x)=\int_0^x f(t)\sin(t-x)\,dt$ とおく。元の式を $x=0$ に代入すると $f(0)=1$。積分の微分では上端の項は $f(x)\sin0=0$ なので $$\displaystyle U(x)=\int_0^x f(t)\sin t\,dt,\quad V(x)=\int_0^x f(t)\cos t\,dt$$ とおけば加法定理から $I=U\cos x-V\sin x$ である。基本定理で $U'=f\sin x, V'=f\cos x$ だから $$I'=-U\sin x-V\cos x,\qquad I''=-f-U\cos x+V\sin x=-f-I.$$元の式を微分すると $f'=e^x(\cos x-\sin x)-I'$ だから $f'(0)=1$。さらに $$f''=(e^x\cos x)''-I''=-2e^x\sin x+f+I=e^x(\cos x-2\sin x),$$ ここで $f+I=e^x\cos x$ を用いた。よって $f''(0)=1$ でもある。 (3) 上式から $f''(x)=e^x(\cos x-2\sin x)$。 (4) これを積分し、(1)の積分値を代入すると $$\displaystyle f'(x)=1+A(x)-2B(x)=\frac{e^x}{2}(3\cos x-\sin x)-\frac12.$$ 右辺の原始関数を取り、$f(0)=1$ を使えば $$\displaystyle f(x)=e^x\left(\cos x+\frac12\sin x\right)-\frac{x}{2}.$$