IV横浜市立大学 2018年 数学 第IV問解答・解説

(1) $\cos x\ne0$ のとき、商の微分法より $$\displaystyle \frac{d}{dx}\tan x =\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) =\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x} =\frac1{\cos^2x}.$$

(2) $\cos x\ne0$ の範囲で $$\displaystyle \frac{d}{dx}\log|\sec x+\tan x| =\frac{\sec x\tan x+\sec^2x}{\sec x+\tan x} =\sec x=\frac1{\cos x}.$$ よって $$\displaystyle \int\frac1{\cos x}\,dx=\log|\sec x+\tan x|+C.$$

(3) $\displaystyle I_n=\int\sec^{2n+1}x\,dx$, $\displaystyle I_{n-1}=\int\sec^{2n-1}x\,dx$ とする。$\sec^2x=1+\tan^2x$ を用い、$\sec^2x$ を積分して $\tan x$ とする部分積分を行うと $$\displaystyle \begin{aligned} I_n &=\int\sec^{2n-1}x\,\sec^2x\,dx\\ &=\tan x\sec^{2n-1}x-(2n-1)\int\sec^{2n-1}x\tan^2x\,dx\\ &=\tan x\sec^{2n-1}x-(2n-1)(I_n-I_{n-1}). \end{aligned}$$ 従って $$\displaystyle 2n\int\frac{1}{\cos^{2n+1}x}\,dx =\frac{\tan x}{\cos^{2n-1}x}+(2n-1)\int\frac{1}{\cos^{2n-1}x}\,dx.$$ ここで不定積分の等式は、積分定数の差を除いた等式である。

(4) (3)で $n=1$ とすると $$\displaystyle \int\sec^3x\,dx =\frac12\left(\tan x\sec x+\log|\sec x+\tan x|\right)+C.$$ これを $0$ から $\pi/4$ まで評価すると $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^{\pi/4}\frac1{\cos^3x}\,dx &=\frac12\left[\tan x\sec x+\log|\sec x+\tan x|\right]_0^{\pi/4}\\ &=\frac{\sqrt2+\log(1+\sqrt2)}2. \end{aligned}$$