8愛媛大学 2017年 数学 第8問解答・解説

(1) $f^{\prime}(x)=1+2\cos x$ だから、$0\le x\le\pi$で $f^{\prime}(x)=0$ となるのは $\displaystyle x=\frac{2\pi}{3}$。$\displaystyle x<\frac{2\pi}{3}$ では $f^{\prime}(x)>0$、$\displaystyle x>\frac{2\pi}{3}$ では $f^{\prime}(x)<0$ なので、f は $\displaystyle 0\le x\le\frac{2\pi}{3}$ で増加、$\displaystyle \frac{2\pi}{3}\le x\le\pi$ で減少し、$\displaystyle x=\frac{2\pi}{3}$ で極大値 $\displaystyle \frac{2\pi}{3}+a+\sqrt3$ をとる。極小値はない。また $f^{\prime\prime}(x)=-2\sin x$ は $0<x<\pi$ で負なので、この区間でグラフは上に凸で変曲点はない。$g^{\prime}(x)=1-2\cos x$ は $\displaystyle x=\frac\pi3$ で0となり、$\displaystyle x<\frac\pi3$ では負、$\displaystyle x>\frac\pi3$ では正。よって g は $\displaystyle 0\le x\le\frac\pi3$ で減少、$\displaystyle \frac\pi3\le x\le\pi$ で増加し、$\displaystyle x=\frac\pi3$ で極小値 $\displaystyle \frac\pi3+a-\sqrt3$ をとる。$g^{\prime\prime}(x)=2\sin x$ は $0<x<\pi$ で正なので、グラフは下に凸で変曲点はない。

$a=\sqrt3$ のとき $f(0)=g(0)=\sqrt3$、$f(\pi)=g(\pi)=\pi+\sqrt3$。さらに $f(x)-g(x)=4\sin x$ は $0<x<\pi$ で正だから、2曲線はこの2端点でのみ交わり、Dでは f が上側、g が下側である。極値点は f が $\displaystyle (\frac{2\pi}{3},\frac{2\pi}{3}+2\sqrt3)$、g が $\displaystyle (\frac\pi3,\frac\pi3)$。author.texにはこれらの形状と区間を示す曲線・軸・塗りつぶしたDのスケッチを挿入した。

(2) $g^{\prime}(x)=1-2\cos x$ は $\displaystyle x=\frac\pi3$ のみで0となり、g はそこで唯一の最小値をとる。したがって g がx軸に接するには $\displaystyle g(\frac\pi3)=\frac\pi3+a-\sqrt3=0$ でなければならず、$\displaystyle a=\sqrt3-\frac\pi3$。なお端点の導関数は g′(0)=−1、g′(π)=3 なので、端点で接する場合はない。このaでは $g(x)\ge0$、また $f(x)-g(x)=4\sin x\ge0$ だから $f(x)\ge g(x)\ge0$ が全区間で成り立つ。よって回転体の断面は外半径f、内半径gの円環であり、$\displaystyle V=\pi\int_0^\pi(f^2-g^2)\,dx$。$f^2-g^2=(f-g)(f+g)=4\sin x\cdot2(x+a)=8(x+a)\sin x$。部分積分で $\displaystyle \int_0^\pi x\sin x\,dx=\pi$、直接積分で $\displaystyle \int_0^\pi\sin x\,dx=2$ だから $V=8\pi(\pi+2a)$。aを代入すると $\displaystyle V=8\pi(\frac\pi3+2\sqrt3)=\frac{8\pi^2}{3}+16\sqrt3\pi$。