5愛媛大学 2017年 数学 第5問解答・解説

（教育学部・農学部・理学部・工学部・医学部）

$A$，$B$，$C$ の3人が以下の規則に従って試合を繰り返し行う。各試合において2人が対戦し，残りの1人は待機する。対戦ではどちらか一方が勝利し，引き分けはないものとする。

① 第1試合では，$A$ と $B$ が対戦し，$C$ は待機する。

② 第2試合では，第1試合の勝者と $C$ が対戦し，第1試合の敗者は待機する。

③ 同様に，第$(n+1)$試合では，第$n$試合の勝者と第$n$試合で待機した者が対戦し，第$n$試合の敗者は待機する。

$A$ と $B$ が対戦したとき $A$ が勝利する確率は $\displaystyle \frac{2}{3}$，$B$ と $C$ が対戦したとき $B$ が勝利する確率は $\displaystyle \frac{1}{2}$，$C$ と $A$ が対戦したとき $C$ が勝利する確率は $\displaystyle \frac{1}{3}$ である。第 $n$ 試合において，$A$，$B$，$C$ が待機する確率をそれぞれ $a_n$，$b_n$，$c_n$ とする。

(1) 次の $\boxed{\phantom{\text{ア}}}$ に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ。 $$a_2=\boxed{\text{ア}},\qquad b_2=\boxed{\text{イ}},\qquad c_2=\boxed{\text{ウ}},\qquad c_3=\boxed{\text{エ}}$$ $$a_{n+1}=\boxed{\text{オ}}\,b_n+\boxed{\text{カ}}\,c_n$$ $$b_{n+1}=\boxed{\text{キ}}\,a_n+\boxed{\text{ク}}\,c_n$$ $$c_{n+1}=\boxed{\text{ケ}}\,a_n+\boxed{\text{コ}}\,b_n$$

(2) $b_n-c_n$ を $n$ の式で表せ。

(3) $a_n$ を $n$ の式で表せ。

(4) $b_n$ を $n$ の式で表せ。