3東北大学 2024年 数学 第3問解答・解説

カードを1回引いたときの文字が $A$ である確率は $2/3$、$B$ である確率は $1/3$ である。

(1) $n=2$ では、可である文字列は $AA,AB,BA$ である。したがって $p_2=4/9$、$q_2=2/9$、$r_2=2/9$ である。

長さ $n+1$ の可な文字列の末尾が $AA$ となるには、長さ $n$ の可な文字列の末尾が $BA$ で、次に $A$ を引けばよい。末尾が $BA$ となるには、長さ $n$ の可な文字列が $B$ で終わり、次に $A$ を引けばよい。末尾が $B$ となるには、長さ $n$ の可な文字列が $A$ で終わり、次に $B$ を引けばよい。可な長さ $n$ の文字列が $A$ で終わる場合、その末尾は $AA$ または $BA$ のいずれかである。よって（$n\ge2$） $$\displaystyle p_{n+1}=\frac23q_n,\qquad q_{n+1}=\frac23r_n,\qquad r_{n+1}=\frac13(p_n+q_n).$$

(2) $S_n=p_n+2q_n+2r_n$ とおくと、(1)より $$\displaystyle S_{n+1}=\frac23q_n+\frac43r_n+\frac23(p_n+q_n)=\frac23S_n.$$ また $S_2=4/3$ なので、等比数列の一般項から $$\displaystyle p_n+2q_n+2r_n=S_n=\frac43\left(\frac23\right)^{n-2}.$$

(3) $T_n=p_n+iq_n-(1+i)r_n$ とおく。(1)を代入すると $$\displaystyle \begin{aligned}T_{n+1}&=\frac23q_n+\frac{2i}{3}r_n-\frac{1+i}{3}(p_n+q_n)\\&=-\frac{1+i}{3}p_n+\frac{1-i}{3}q_n+\frac{2i}{3}r_n\\&=-\frac{1+i}{3}\{p_n+iq_n-(1+i)r_n\}=-\frac{1+i}{3}T_n.\end{aligned}$$ さらに $T_2=4/9+2i/9-(1+i)2/9=2/9$ であるから $$\displaystyle T_n=\frac29\left(-\frac{1+i}{3}\right)^{n-2}.$$ ここで $-(1+i)/3=(\sqrt2/3)(\cos(5\pi/4)+i\sin(5\pi/4))$ なので、極形式とド・モアブルの定理により $$\displaystyle p_n+iq_n-(1+i)r_n=\frac29\left(\frac{\sqrt2}{3}\right)^{n-2}\left(\cos\frac{5(n-2)\pi}{4}+i\sin\frac{5(n-2)\pi}{4}\right).$$

(4) $p_n,r_n$ は実数であるため $p_n=r_n$ は $\operatorname{Re}(T_n)=0$ と同値である。(3)で得た係数 $\displaystyle \frac29(\frac{\sqrt2}{3})^{n-2}$ は正なので、これは $$\displaystyle \cos\frac{5(n-2)\pi}{4}=0$$ と同値。余弦が $0$ となるのは角が $\pi/2+m\pi$（$m$ は整数）のときだから、$k=n-2$ とおけば $5k/4=1/2+m$、すなわち $5k=2+4m$ である。これが成り立つための必要十分条件は $k\equiv2\pmod4$ であり、$n=k+2$ より $n\equiv0\pmod4$ を得る。$n\ge2$ に注意すると、求める条件は $n=4m$（$m$ は正の整数）である。