2東北大学 2024年 数学 第2問解答・解説

(1)

$t>1$ なので $\sqrt t-1>0$。条件 (a) から $$\displaystyle \frac1x<\sqrt t-1,\qquad 1+\frac1x<\sqrt t,$$ したがって対数関数の増加性より $$\displaystyle 2\log_t\left(1+\frac1x\right)<2\log_t\sqrt t=1.$$ さらに条件 (b) と対数の積の性質を用いると $$\displaystyle 2\log_t(x+1) =2\log_t x+2\log_t\left(1+\frac1x\right) <x+1.$$ よって示された。

(2)

$n>0$ なので、底 2 の指数関数の増加性と平方を用いて $$n\le2\log_2 n \quad\text{すなわち}\quad 2^{n/2}\le n \quad\text{すなわち}\quad 2^n\le n^2.$$ $n=1,2,3,4$ を調べると、条件を満たすのは $n=2,3,4$ である。

$n\ge5$ では $2^n>n^2$ が成り立つことを示す。n=5 では $32>25$。ある $n\ge5$ で $2^n>n^2$ とすると、 $$2^{n+1}>2n^2>(n+1)^2,$$ ここで $2n^2-(n+1)^2=n^2-2n-1>0$ である。よって数学的帰納法により、すべての $n\ge5$ で $2^n>n^2$。したがって $n\ge5$ に解はなく、解は $$n=2,3,4.$$