東北大学 2024年数学第1問解答・解説

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1問題

東北大学2024年度第1問

$a$ を正の実数とし, $f(x) = x^{2} - 2ax + 4a^{2}$ とする。O を原点とする $xy$ 平面上の放物線 $C: y = f(x)$ の頂点を A とする。直線 OA と $C$ の交点のうち A と異なるものを $\mathrm{P}(p, f(p))$ とし, O から $C$ へ引いた接線の接点を $\mathrm{Q}(q, f(q))$ とする。ただし, $q > 0$ とする。

(1) p, q の値を a を用いて表せ。また, p > q であることを示せ。

(2) 放物線 C の $q \leq x \leq p$ の部分, 線分 OP, および線分 OQ で囲まれた図形の面積を S とおく。S を a を用いて表せ。

(3) (2) の S に対し, $\displaystyle S = \frac{2}{3}$ となるときの a の値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $p=4a,\ q=2a$ 、 $p>q$ 。 (2) $\displaystyle S=\frac{16a^3}{3}$ 。 (3) $\displaystyle a=\frac12$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$f(x)=x^2-2ax+4a^2=(x-a)^2+3a^2$ より、頂点は $A=(a,3a^2)$ 、直線 $OA$ は $y=3ax$ 。

(1) $C$ と $OA$ の交点の $x$ 座標は $x^2-2ax+4a^2=3ax \quad\text{すなわち}\quad (x-a)(x-4a)=0.$ $A$ 以外の交点 $P$ について $p=4a$ 。 $x=q$ における接線は $y=f'(q)(x-q)+f(q)$ 、 $f'(q)=2q-2a$ 。原点を通る条件は $f(q)-qf'(q)=0$ 、すなわち $q^2-4a^2=0$ 。 $q>0,a>0$ より $q=2a$ 。したがって $p=4a>2a=q$ 。

(2) $0\leq x\leq2a$ では上側の境界は $OP:y=3ax$ 、下側は $OQ:y=2ax$ 。 $2a\leq x\leq4a$ では上側が $OP$ 、下側が $C$ である。実際、 $3ax-f(x)=-x^2+5ax-4a^2=-(x-a)(x-4a)\geq0.$ よって $\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_0^{2a}(3ax-2ax)\,dx+ \int_{2a}^{4a}\{3ax-(x^2-2ax+4a^2)\}\,dx\\ &=2a^3+\left[-\frac{x^3}{3}+\frac{5a}{2}x^2-4a^2x\right]_{2a}^{4a} =\frac{16}{3}a^3. \end{aligned}$

(3) $S=2/3$ より $16a^3/3=2/3$ 、したがって $a^3=1/8$ 。 $a>0$ なので $\displaystyle \boxed{a=\frac12}.$

この問題で使う考え方

平方完成
交点・接線条件
区間分割して定積分

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