4東北大学 2024年 数学 第4問解答・解説

$$\displaystyle \begin{aligned} \text{(1)}\quad &P_2-P_1=(2,1,-2),\qquad |P_1P_2|=3.\\[2pt] \text{(2)}\quad &|\sqrt5-\sqrt2|<3<\sqrt5+\sqrt2,\\ &\ell=\frac{3^2+5-2}{2\cdot3}=2,\quad R=\sqrt{5-\ell^2}=1,\\ &P_3=P_1+\frac23(2,1,-2)=\left(\frac{13}{3},-\frac13,-\frac13\right).\\[2pt] \text{(3)}\quad &S_1:\ x^2+y^2+z^2-6x+2y-2z+6=0,\\ &S_2:\ x^2+y^2+z^2-10x+2z+24=0,\\ &S_1-S_2=0\text{したがって} H:2x+y-2z=9,\quad n=(2,1,-2),\\ &2u+v=0,\quad u^2+v^2=1,\quad (u,v,0)=\pm\frac{(1,-2,0)}{\sqrt5}.\\[2pt] \text{(4)}\quad &e_z=(0,0,1),\quad p=e_z-\frac{e_z\cdot n}{|n|^2}n=\left(\frac49,\frac29,\frac59\right),\quad |p|=\frac{\sqrt5}{3},\\ &w=Q-P_3,\quad w\cdot n=0,\quad |w|=1,\quad w_z=w\cdot e_z=w\cdot p,\\ &|w_z|\le |p|,\quad -\frac{1+\sqrt5}{3}\le z_Q\le\frac{\sqrt5-1}{3},\\ &d_{\max}=\frac{1+\sqrt5}{3},\quad w=-\frac{p}{|p|},\\ &Q=P_3-\frac{p}{|p|}=\left(\frac{13}{3}-\frac{4}{3\sqrt5},-\frac13-\frac{2}{3\sqrt5},-\frac{1+\sqrt5}{3}\right). \end{aligned}$$

中心間ベクトルの長さから2球面が円で交わる条件を確かめる。中心線上の直角三角形を解くと、交円の半径は$1$、中心は$P_3=(13/3,-1/3,-1/3)$。球面方程式の差から交円の平面$H$を得る。単位方向ベクトルは$H$と$xy$平面の法線条件を満たすものとして求める。最後に鉛直単位ベクトルを$H$へ正射影すると、円上で高さが動く最大幅は$\sqrt5/3$。中心高さが$-1/3$なので、最も低い点で$|z|$が最大となる。