1名古屋市立大学 2024年 数学 第1問解答・解説

(1) $\vec p=\overrightarrow{OP}$ とおくと、$\overrightarrow{PA}=\vec a-\vec p$、$\overrightarrow{PB}=\vec b-\vec p$。条件式から $$5\vec p=(\vec a-\vec p)-3(\vec b-\vec p)=\vec a-3\vec b+2\vec p,$$ 従って $\overrightarrow{OP}=\vec a/3-\vec b$。

(2) $G$ の位置ベクトルは $(\vec a+\vec b+\vec c)/3$。直線 $PG$ 上の点を $P+t(G-P)$ と書くと、その位置ベクトルは $$\displaystyle \frac13\vec a+\left(-1+\frac{4t}{3}\right)\vec b+\frac{t}{3}\vec c.$$ 平面 $OAC$ 上では $\vec b$ の係数が0だから $t=3/4$。したがって $\overrightarrow{OQ}=\vec a/3+\vec c/4$。

(3) $s=OR/OA$ とし、$\vec r=\overrightarrow{OR}=s\vec a$、$u=1/3-s$ とおく。$PQ$ を斜辺とするので $\overrightarrow{RP}\perp\overrightarrow{RQ}$。 $$\displaystyle \overrightarrow{RP}=u\vec a-\vec b,\qquad \overrightarrow{RQ}=u\vec a+\frac14\vec c.$$ 正四面体の一辺の長さを $L$ とすれば $|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=L$、$\vec a\cdot\vec b=\vec a\cdot\vec c=\vec b\cdot\vec c=L^2/2$。よって直交条件は $$\displaystyle 0=\overrightarrow{RP}\cdot\overrightarrow{RQ}=L^2\left(u^2-\frac38u-\frac18\right),$$ すなわち $8u^2-3u-1=0$。従って $u=(3\pm\sqrt{41})/16$ で、 $$\displaystyle s=\frac13-u=\frac{7\mp3\sqrt{41}}{48}.$$ $R$ は線分 $OA$ 上なので $0\le s\le1$。$7-3\sqrt{41}<0$ より負の解を除き、 $$\displaystyle \frac{OR}{OA}=s=\frac{7+3\sqrt{41}}{48}.$$

位置ベクトルで条件を整理して $P$ を求める。$PG$ を媒介変数で表し、$OAC$ 上の条件で $Q$ を定める。最後に正四面体の辺ベクトルの内積を使って $RP\perp RQ$ を式にし、線分上の範囲で二次方程式の根を選ぶ。