1熊本大学 2016年 数学 第1問解答・解説

$A$を原点とする位置ベクトルで考えると、$\overrightarrow{AP}=k(\vec{c}-\vec{b})$、$\overrightarrow{AQ}=mk(\vec{c}-\vec{b})$である。$R$は線分$PB$、$QC$上にあるから、ある$\lambda,\mu$（$0\leq\lambda,\mu\leq1$）を用いて $$\overrightarrow{AR}=\lambda\overrightarrow{AP}+(1-\lambda)\vec{b}=\mu\overrightarrow{AQ}+(1-\mu)\vec{c}$$ と表せる。$\vec b,\vec c$の係数を比較すると $$1-(1+k)\lambda=-mk\mu,\qquad k\lambda=1+(mk-1)\mu.$$ この2式を加えると$\lambda=\mu$を得る。したがって$\lambda\{1+k(1-m)\}=1$であり、交点が存在するので分母は0でない。よって $$\displaystyle \overrightarrow{AR}=\lambda\overrightarrow{AP}+(1-\lambda)\vec b=\frac{k}{1+k(1-m)}(\vec c-m\vec b).$$

問2では$m=-1$だから、 $$\displaystyle \overrightarrow{AR}=\frac{k}{1+2k}(\vec b+\vec c)=t(\vec b+\vec c),\qquad t=\frac{k}{1+2k}.$$ $k>0$より$\displaystyle 0<t<\frac12$である。また$\displaystyle \vec b\cdot\vec c=|\vec b||\vec c|\cos\angle BAC=\frac32$だから、 $$\displaystyle \begin{aligned}\overrightarrow{BR}\cdot\overrightarrow{CR}&=((t-1)\vec b+t\vec c)\cdot(t\vec b+(t-1)\vec c)\\&=t(t-1)|\vec b|^2+t(t-1)|\vec c|^2+\{(t-1)^2+t^2\}(\vec b\cdot\vec c)\\&=5t(t-1)+\frac32\{(t-1)^2+t^2\}=8t^2-8t+\frac32.\end{aligned}$$ 直交条件より$16t^2-16t+3=0$、すなわち$(4t-1)(4t-3)=0$。$\displaystyle 0<t<\frac12$なので$\displaystyle t=\frac14$である。これを$\displaystyle t=\frac{k}{1+2k}$に代入すると$4k=1+2k$より$\displaystyle k=\frac12$。このとき$\displaystyle t=\frac14$となり、内積は0である。

Aを原点とし、RがPBとQC上にあることから$0\leq\lambda\leq1$、$0\leq\mu\leq1$を満たす媒介変数$\lambda,\mu$を置く。$\vec b,\vec c$の係数比較後、二式を加えると$\lambda=\mu$となり、$\displaystyle \lambda=\frac{1}{1+k(1-m)}$。これから$\displaystyle \overrightarrow{AR}=\frac{k}{1+k(1-m)}(\vec c-m\vec b)$を得る。分母が0なら有限の交点は存在しない。$m=-1$では$\displaystyle t=\frac{k}{1+2k}$として$\overrightarrow{AR}=t(\vec b+\vec c)$、$k>0$から$\displaystyle 0<t<\frac12$。$\overrightarrow{BR}\cdot\overrightarrow{CR}$の内積は$\displaystyle 8t^2-8t+\frac32$であり、直交条件から$\displaystyle t=\frac14$または$\displaystyle t=\frac34$。範囲に合う$\displaystyle t=\frac14$を選び、$\displaystyle k=\frac12$。